Dissertação de Mestrado #668 – Bernardo Leal de Oliveira – 26/11/2021

O estudo dos chamados operadores de Schrödinger aleatórios tem origem na Física do Estado Sólido, onde o fenômeno de localização foi tratado pela primeira vez por Philip W. Anderson no final dos anos cinquenta e por Nevill F. Mott e W.D. Twose nos anos sessenta; vale destacar que as contribuições de I. M. Lifshitz, na década de 1960, estabeleceram as bases para o estudo matematicamente rigoroso. Sabe-se, da Física Teórica, que a evolução temporal de um sistema quântico é governada pela Equação de Schrödinger, e em um sistema ordenado as soluções da Equação de Schrödinger apresentam coerência de longo alcance, o que torna possível definir a solução para todo o espaço. Porém, em um meio desordenado, as impurezas destroem a ordem de longo alcance e podem acarretar na inexistência de soluções estendidas a todo espaço para baixas energias. Para incorporar a desordem aos modelos matemáticos é preciso considerar um operador como um elemento de uma família de operadores, família esta indexada pelos elementos de um espaço de probabilidade. Isso quer dizer que, do ponto de vista físico, não se sabe exatamente como as impurezas se distribuem ao longo da rede cristalina. Unindo-se a tal família a propriedade de ergodicidade é possível mostrar que os tipos espectrais que normalmente se consideram, ou seja, espectros absolutamente contínuo, singular contínuo e puramente pontual, não são aleatórios (i.e., independem do operador, a menos de um conjunto de probabilidade zero). Na Física de Estado Sólido e na Física da Matéria Condensada, a densidade de estados de um sistema estabelece uma relação entre os estados que podem ser ocupados pelo sistema e sua energia, mais precisamente, o número de estados livres abaixo de uma certa energia. Matematicamente, tal quantidade é representada como uma distribuição, sendo essa o limite da função de contagem dos autovalores do operador de Schrödinger. Nesta dissertação estudamos o espectro e a densidade integrada de estados para operadores de Schrödinger em variedades compactas considerando aleatórios os operadores e a métrica da variedade.