DISSERTAÇÃO DE MESTRADO #774 – MARCOS PAULO MOREIRA – 13/08/2025

O método das prolongações, desenvolvido a partir dos estudos pioneiros de Sophus Lie entre as décadas de 1870 e 1890, é uma técnica matemática que permite a determinação de geradores de transformações contínuas que atuam como simetrias, isto é, que mapeiam soluções em soluções de equações diferenciais. Nosso intuito no presente trabalho será estudar o método e investigar como ele pode ser aplicado à física.

Primeiramente, estudaremos o método das prolongações minuciosamente. Após uma necessária revisão geral, construiremos o método no contexto de equações diferenciais, visando
transformações de ponto. Em seguida, faremos o mesmo no contexto dos problemas variacionais, dotados de lagrangianas, de onde surgirão as chamadas simetrias variacionais e importantíssimos resultados associados.

Em seguida, devotaremos nossa atenção à aplicabilidade do formalismo à física. Faremos isso de tal forma a explorar os resultados derivados nos primeiros capítulos. O método será aplicado a duas equações de interesse físico: as equações de Burgers e de Korteweg e De Vries. Além disso, enveredaremos nos campos da relatividade geral e cosmologia, e veremos como o método das prolongações pode nos ajudar na resolução de questões presentes nessas áreas. Teremos também a oportunidade de aprender como podemos aplicar os nossos estudos ao problema de quantização da gravitação.

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