3.  FOTOMETRIA

3.1  Observações e redução

As observações fotométricas foram realizadas no telescópio SAT (Strömgren Automatic Telescope, 50cm), instalado em La Silla, Chile, no ESO (European Southern Observatory) de 1987 a 1991, equipado com o fotômetro descrito por Nielsen et al. (1987), usando o sistema uvbybeta. A redução dos dados foi feita pelo Dr. Jens Viggo Clausen, com o programa padrão para redução de dados observados com o SAT (Vaz e Helt, 1994). As observações serão publicadas separadamente (Vaz et al. , 1996).

As estrelas HD 162631, HD 162817 e HD 161390 foram usadas como comparações e mostraram-se constantes dentro dos erros observacionais. Dados gerais sobre V906 Sco e as estrelas de comparação estão na tabela 3.1.

3.2  Curvas de luz

O programa usado para gerar as curvas de luz, LC30 (Vaz e Helt, 1994) faz parte do pacote de redução desenvolvido para o SAT.

Inicialmente, são identificadas pelo programa todas as estrelas de comparação e são calculados os valores médios de seus índices e cores instrumentais (y, b-y, m₁, c₁, v, b, u), usando as medidas de todas as noites. Para identificar medidas ruins, começa-se calculando para a 1ª estrela de comparação os valores médios de suas cores e índices para cada noite separadamente. Cada cor ou índice que se desvie mais de 2.5 vezes do desvio padrão do valor médio calculado anteriormente para todas as noites para esta estrela será marcado, e nenhuma das medidas feitas junto com esta será incluída no cálculo dos valores médios desta noite. Esse processo é repetido para todas as estrelas de comparação e em seguida são calculados os valores, normalizados pelo número de medidas, para as diferenças entre as médias gerais e as médias por noite. Então, as medidas individuais de cada noite são corrigidas pelas médias normalizadas correspondentes, e repetem-se todos os cálculos com as medidas corrigidas.

Agora as médias gerais devem ter erros quadráticos médios bem pequenos, não sendo mais afetadas por flutuações em uma noite. Assim, os pontos que ainda estiverem desviando da média devem ser vistos como ruins ou como indicadores de uma possível variabilidade da estrela de comparação.

Procede-se então a um estudo similar de todas as possíveis diferenças de magnitude entre as estrelas de comparação, sempre verificando as restrições impostas ao valor da massa de ar, assim como ao intervalo de tempo máximo e à diferença máxima em massa de ar entre duas observações a serem comparadas.

Por fim a curva de luz é calculada, usando todas as medidas de todas as estrelas de comparação. A estrela de comparação introduzida em primeiro lugar como dado no programa é considerada a mais confiável e as medidas de todas as outras comparações são transformadas em medidas da 1ª, adicionando-se a devida diferença de magnitude.

São usados também pelo programa os pontos que se desviaram da média nos processos descritos anteriormente ou os que excederam os limites impostos à massa de ar, à diferença de massa de ar e à diferença de tempo entre as observações comparadas. Entretanto, estes pontos são marcados para facilitar sua identificação e cabe ao usuário analisar e remover os que não considerar confiáveis.

A curva de luz y e as curvas dos índices de cor b-y e u-b estão na figura 3.1. Os dois mínimos são semelhantes, sendo que o segundo ocorre um pouco depois da fase 0.^p5. As estrelas estão relativamente próximas, causando a distorção vista na curva de luz, entre os eclipses. Os índices b-y e u-b mudam pouco com a fase, tornando-se ligeiramente avermelhados durante o mínimo primário.

3.3  Efemérides

Leung e Schneider (1975) determinaram as primeiras efemérides de V906 Sco:

Min I em: DJH 2 439 649.8190	+	2.d285847	E
±16		±16

De maneira iterativa foram obtidos, a partir das curvas de luz, o período e tempos de mínimo do sistema.

Inicialmente, obteve-se o período para cada cor (u, v, b, y) pelo método de Lafler e Kinman (1965). Nesse método, supõe-se um período inicial que é incrementado n vezes segundo um passo escolhido. Para cada período é calculada a soma das diferenças de magnitude entre um ponto da curva de luz e o seguinte. O melhor período será o cor\-res\-pondente à menor soma das diferenças (fig. 3.2).

Passou-se em seguida ao cálculo de tempos de mínimo. Foram selecionadas as noites que cobriam o mínimo primário (DJ=8018, 8355) e a única noite que cobria o mínimo secundário (DJ=8362). O critério de seleção das noites foi a existência de mais de dois pontos tanto no ramo descendente quanto no ascendente dos mínimos, sendo o total de pontos da noite maior ou igual a 8, o que é necessário para usar os métodos escolhidos:

• O ajuste de um polinômio de 2º grau às observações pelo método de mínimos quadrados.

• O método de Kwee e Van Woerden (1956).

Ambos os métodos deram resultados coerentes, e foram obtidos os tempos de mínimo da tabela 3.2. Com esses tempos de mínimo determinou-se novamente o período ajustando-se efemérides de primeiro grau, obtendo-se: T_min=2 448 355.9006, P=2.^d785957. Com essas efemérides foram refeitas as curvas de luz e redeterminados o período e tempos de mínimo através dos métodos descritos anteriormente, iterativamente. Ao se recalcularem as curvas de luz, mais uma noite (DJ=7656) pôde ser utilizada na determinação de tempos de mínimo. Os tempos de mínimo calculados com as nossas observações são os quatro últimos na tabela 3.2.

Para verificar a coerência dos resultados obtidos de forma independente usou-se o método de Lafler e Kinman (1975) com a curva de velocidades radiais da componente primária. O período determinado, P=2.^d78586 ±0.00038, possui um erro grande devido ao pequeno número de pontos e à dispersão desses, mas concorda com o obtido com as curvas de luz.

Usando apenas os três tempos de mínimo primário determinados com as nossas observações, têm-se, por mínimos quadrados, as seguintes efemérides:

Min I em: DJH 2 448 355.8999	+	2.d785934	E
±15		±9

Entretanto, essas efemérides foram obtidas com tempos de mínimo muito próximos uns dos outros, cobrindo somente 251 ciclos. Redeterminou-se, então, o tempo de mínimo primário de Leung e Schneider pelo métdo de Kwee e Van Woerden (o primeiro na tabela 3.2) e cobrindo agora 3125 ciclos obteve-se:

Min I em: DJH 2 448 355.9015	+	2.d785947	E
±12		±8

Adotaram-se os valores acima para as efemérides que fornecem os valores de O-C listados na tabela 3.2.

Para verificar a existência de movimento de ápsides, calculou-se, usando as nossas efemérides, a separação em fase dos mínimos das observações feitas por Leung e Schneider (1975), obtendo-se: f_sec-f_pri=0.4964 ±0.0005. Comparando com a separação obtida com as nossas observações, f_sec-f_pri=0.5032 ±0.0004, sugere-se o movimento de ápsides do sistema. Entretanto, mais tempos de mínimo são necessários, especialmente para o secundário, de forma a confirmá-lo de maneira definitiva.

3.4  Temperatura

O valor inicial da temperatura efetiva da estrela primária foi estimado dos índices padrão livres de avermelhamento interestelar, [m₁], [c₁], e [u-b], onde [u-b]=[c₁]+2[m₁], obtidos a partir dos valores dos índices padrão da tabela 3.1.

Utilizando as definições de Strömgren (1966) para [m₁] e [c₁], tem-se [u-b]=1.177, o que leva a T_A=10711 K, interpolando nas tabelas de Davis e Shobbrook (1977). Usando as calibrações de Crawford (1978), tem-se [u-b]=1.186 e T_A=10 667 K. Independentemente, utilizando o valor médio fora de eclipses de b=2.801, tem-se c₀=0.961 (Crawford, 1978) e T_A=10 704 K (Davis e Shobbrook, 1977).

Adotou-se, então, T_A=10 700 K como temperatura efetiva da estrela primária.

3.5  Pontos normais

Devido ao grande número de pontos (1117) nas curvas de luz para cada cor, o tempo de computação gasto pelos programas de síntese de curva de luz é considerável. Torna-se então necessária a seleção de pontos estratégicos que representem bem as curvas. Cada curva foi interpolada com o programa splfit (Vaz, Andersen e Rabello Soares, 1995), usando splines de 3ª ordem e sempre o mesmo conjunto de nós. O programa permite forçar pontos de descontinuidade nas curvas teóricas, o que é necessário para reproduzir efeitos como o começo e fim dos eclipses.

Obtidos os splines, foram escolhidos aproximadamente 40 pontos normais para cada cor e esses foram utilizados na obtenção de uma solução inicial dos paråmetros absolutos do sistema. Eles só foram substituídos pelos pontos medidos quando a solução final estava bem próxima.

Já numa fase de interpolação dos splines percebeu-se que o mínimo secundário não ocorria exatamente na fase 0.5 e sim próximo a 0.5028. Utilizando o método de Kwee e Van Woerden tanto no mínimo primário quanto no secundário para as 4 cores, verificou-se que esse resultado era real. Obtivemos (média ponderada das 4 cores):

3.6  Magnitude visual aparente

A magnitude visual aparente observada de V906 Sco da tabela 3.1 está afetada pela absorção interestelar (A_V) e pela luz da 3ª componente. Para se obter a magnitude aparente verdadeira do sistema é preciso descontar esses dois efeitos.

A absorção é dada por

Segundo Buscombe (1967), o efeito da absorção interestelar em NGC 6475 é bem pequeno, podendo-se considerar o valor padrão para a razão entre absorção total/seletiva R=3.0 ±0.2. Pode-se calcular o avermelhamento a partir do excesso de c₁:

onde E(c₁)=c₁-c₀, sendo, desta maneira, E(b-y)=0.^m060 ±0.005 e A_V=0.^m25 ±0.03 com os valores obtidos das observações (tab. 3.1).

Este valor concorda com alguns valores de A_V determinados na literatura para o aglomerado. Entretanto, há discussão entre vários autores sobre o valor correto. Koelbloed (1959) fez fotometria UBV e achou A_V=0.^m12, enquanto Snowden (1976), através de fotometria uvbybeta, determinou A_V=0.^m25 ±0.08. Em 1988, Nissen obteve fotometria uvbyb de vários aglomerados abertos, entre eles M7, e calculou A_V=0.^m160 ±0.025. Nissen critica a fotometria feita por Snowden apontando diferenças sistemáticas grandes entre os valores dos índices m₁ e c₁ obtidos por eles dois. Nissen discute também o fato das medidas de Snowden apresentarem uma grande dispersão, enquanto as feitas por ele têm desvios médios bem menores. Mas o trabalho de Snowden é bastante usado, dando resultados satisfatórios em vários trabalhos subsequentes, como no artigo de Meynet, Mermilliod e Maeder (1993), onde, usando observações de Koelbloed (1959), Hoag (1961) e Snowden (1976), tem-se uma concordåncia muito boa entre os pontos observados e a curva M_V×(B-V)₀ calculada através do modelo proposto pelos autores. Como, apesar de toda a discussão, os valores de Nissen e Snowden concordam dentro de seus erros, será adotado um valor médio entre o determinado pelos dois autores, A_V=0.^m205 ±0.06.

Enquanto a absorção interestelar aumenta a magnitude aparente do sistema, a 3ª componente a diminui. A magnitude aparente observada (m_V(obs)=5.^m96) pode ser expressa como

sendo C₁ a luminosidade da 1ª estrela de comparação e l_C=0.197, de acordo com a seção 2.5.

Substituindo os valores de m_V(obs), l_C e A_V na equação 3.5 tem-se o valor adotado de m_V

3.7  Modelos de sistemas binários

Os elementos fotométricos do sistema foram determinados ajustando curvas de luz sintéticas às observadas através de correções diferenciais iterativas pelo método de mínimos quadrados.

Versões modificadas dos programas de síntese de curva de luz WINK (Wood, 1971; Vaz, 1984, 1986) e WD (Wilson e Devinney, 1971; Wilson, 1990 e referências; Vaz, Andersen e Rabello Soares, 1995) foram usadas. O WINK utiliza uma geometria simples (elipsóides tri-axiais) para o formato das estrelas, o que é adequado somente para sistemas pouco deformados. Mesmo assim, o modelo poderia, a princípio, ser usado para fornecer bons valores iniciais para um modelo mais preciso, como o WD. Mas, apesar da aparente pouca deformação de V906 Sco, não foi possível reproduzir as variações da curva de luz fora dos eclipses (fig 3.1) com o WINK. Foi necessário, então, começar a busca da solução com o WD. Esse é um modelo com uma boa descrição geométrica dos formatos das componentes, mas consome muito tempo de computação, pois ao invés de usar, como o WINK, um formato que pode ser calculado analiticamente, usa superfícies equipotenciais gravitacionais do modelo de Roche modificado, calculadas por métodos numéricos. Uma das maneiras de ganhar tempo de computação é utilizar, ao invés de todos os pontos observados, pontos normais, como descrito na seção 3.4. Outra alternativa é usar mais de uma vez as derivadas parciais calculadas em uma iteração. Isso é importante, pois permite investigar o melhor caminho para a solução quando esta ainda está longe, e é também muito útil quando a solução está bem próxima e os pontos normais já foram substituídos pelos observados. Neste caso, devido ao grande número de pontos, o tempo gasto no cálculo das derivadas é enorme e pode-se avançar de maneira eficiente em direção à solução final, intercalando iterações onde calculam-se as derivadas, com outras onde elas não são calculadas.

A versão atual do WD é capaz de ajustar várias curvas de luz e de velocidade radial simultaneamente, mas esse tipo de ajuste tem que concordar com os ajustes individuais para cada cor, de forma a se ter soluções consistentes.

3.7.1  Paråmetros iniciais e primeiras soluções

Vários paråmetros iniciais utilizados foram determinados nas seções anteriores. A razão das massas, q=M_B/M_A=1.038 ±0.014, foi inicialmente mantida fixa em seu valor espectroscópico (sec. 2.3), enquanto só eram ajustadas curvas de luz. Ao serem ajustadas também as curvas de velocidade radial q foi liberada. Inicialmente usou-se o valor, q=M_B/M_A=1.028 ±0.014, obtido com o mesmo conjunto de dados espectroscópicos, mas com um peso diferente para algumas observações. Como os valores concordam entre si as soluções calculadas com o último não foram refeitas, porém a solução final foi feita com o valor adotado na espectroscopia.

O valor inicial da temperatura efetiva da estrela primária foi mantido fixo em T_A=10 700 K (sec. 3.4), e o da estrela secundária ficou livre para ajuste. A contribuição da 3^a \scriptscriptstyle - luz foi deixada livre, partindo do valor l_C=0.1964 (sec. 2.5) em todas as cores.

Os expoentes de brilho por gravidade foram fixados em 1.0 para as duas componentes (von Zeipel, 1924) e os albedos bolométricos de reflexão foram mantidos em 1.0, como apropriado para envelopes radiativos.

Os valores de logg usados no cálculo dos coeficientes de escurecimento de bordo e na interpolação nas tabelas de atmosferas do modelo foram sempre atualizados a cada nova solução. Usou-se a lei linear de escurecimento de bordo, sendo os coeficientes de escurecimento de bordo obtidos, para cada valor da temperatura e logg, via interpolação bi-linear nas tabelas criadas por Van Hamme (1993) a partir do modelo de atmosferas de Kurucz (1979).

Na determinação dos pontos normais (sec. 3.5), verificou-se a excentricidade da órbita, por isso, e foi deixada livre desde o começo. A longitude do periastro, w, também não foi fixada inicialmente. Mas esses dois paråmetros estão muito correlacionados, e logo viu-se que a solução sempre divergia deixando os dois livres. Fixando somente e ou w, o outro não converge para valores que reproduzam a posição do mínimo secundário em relação ao primário (f_sec-f_pri) (eq. 3.6). Como a inclinação da órbita (i) convergiu rapidamente e o período (P) foi mantido fixo, se e ou w for fixado, o outro não tem liberdade para variar, tendo em vista a necessidade de f_sec-f_pri=0.5032 ser reproduzida.

Não podendo variar e e w ao mesmo tempo, nem deixar somente um deles fixo, só restou a solução de fixar os dois. A equação 3.6 determina uma série de combinações possíveis para a excentricidade e a longitude do periastro, tendo em vista os valores já conhecidos de i, f_pri-f_sec e P. Tentando ajustar as curvas de velocidades radiais (binária e SBOP), com os valores de e e w obtidos da equação 3.6, estabeleceram-se os limites: 0.004 £ e £ 0.03 e -82^° £ w £ 82^°.

Uma outra maneira de estimar a faixa válida de valores de w e e utiliza a razão entre as durações dos mínimos, suas posições e os respectivos erros correspondentes. Comparando os mínimos primário e secundário, conseguiu-se estabelecer a seguinte razão para as suas durações:

sendo o erro um pouco super estimado e causado, principalmente, pela falta de pontos no começo do mínimo secundário (fig. 3.1). Com esse valor e as posições dos mínimos determinadas (sec. 3.5), utilizou-se o WINK para ter mais uma estimativa dos valores possíveis para a excentricidade e a longitude do periastro com seus respectivos erros. Como a equação usada pelo programa para o cálculo dos erros de e e w é descontínua em w=0^°, o ponto que corresponde a D_sec/D_pri=1.0, fêz-se uma grade de soluções (tab. 3.3).

Da tabela 3.3 vê-se que, mesmo se pudessemos garantir um erro de 0.001 na determinação de D_sec/D_pri, isso ainda implicaria em limites bastante grandes para os valores de w possíveis (-45^° £ w £ 45^°). Com os erros atuais decidiu-se fazer soluções nos seguintes limites: -80^° £ w £ 80^°, o que corresponde a 0.004 £ e £ 0.028.

Foram feitas soluções para w igual a -75^°, -40^°, 0^°, 40^°, 75^° e 80^°. Ao tentar atingir a convergência nas soluções para os diferentes valores de w, percebeu-se uma correlação grande entre a inclinação (i) e a contribuição da 3^a \scriptscriptstyle - luz (l_C), tornando impossível reproduzir os mínimos com a profundidade correta quando os dois paråmetros eram deixados livres. Para contornar essa dificuldade, foi feita uma solução para a cor v, fixando inicialmente todos os paråmetros menos a inclinação, até que esta convergisse. Escolheu-se v, pois a estimativa espectroscópica que se tem de l_C é para comprimentos de onda em torno de 4400Å (sec. 2.5) e o filtro v é centrado em 4100Å. Feito isso, liberaram-se os potenciais gravitacionais das duas componentes, permitindo o ajuste dos tamanhos das estrelas. Como os raios e a inclinação não dependem do comprimento de onda, os valores obtidos em v foram fixados e, para cada cor separadamente, foram feitas soluções deixando somente a luminosidade da primária (L_A) e l_C livres para ajuste até atingir a convergência.

Foram obtidos com esse procedimento valores coerentes para a contribuição da terceira luz. A partir daí, l_C foi mantida fixa em todas as soluções, e a inclinação deixada livre para se ajustar junto com os outros paråmetros.

3.7.2  Paråmetros fotométricos e novos paråmetros espectros\-có\-picos

Utilizou-se o modo 2 (sistema separado) do WD desde o início. Apesar de indícios de proximidade entre as estrelas, os ajustes obtidos foram muito bons, confirmando que V906 Sco é um sistema sem contato entre as componentes.

Tendo fixado os valores de l_C, foram feitas soluções para os valores de e e w descritos anteriormente. Deixaram-se livres a inclinação i, a temperatura da secundária T_B, os potenciais gravitacionais W_A e W_B e a luminosidade da primária L_A ao serem feitas soluções somente com as curvas de luz. Ao serem incluídas as curvas de velocidade radial, deixaram-se também variar o semi-eixo maior da órbita A sen i, a velocidade do centro de massa V_CM e a razão das massas q. Não se fornece a luminosidade da secundária, L_B, pois ela é calculada a partir de outros paråmetros pelo modelo.

A convergência foi considerada atingida quando as correções de todos os paråmetros de\-i\-xados livres tornaram-se menores do que 1/3 de seus erros calculados e começaram a oscilar sistematicamente em torno de zero. Na tabela 3.4, onde estão todas as soluções calculadas, o paråmetro s é uma medida em magnitudes de quão bom foi o ajuste:

Na equação acima np é o número de pontos observados e (O-C)_j o resíduo de um ponto observado em relação ao calculado para uma cor (u,v,b   ou  y).

Apesar de convergirem, as soluções correspondentes a w= ±75^° apresentaram resíduos das observações em relação às curvas teóricas com tendências sistemáticas bastante grandes. Devido ao ajuste ruim, os valores de s destas soluções foram os maiores obtidos entre as soluções determinadas, como pode ser visto na tabela 3.4. Por isso foi tentada uma solução em w=80^°, e percebeu-se uma acentuação das tendências, tornando cada vez mais difícil atingir a convergência. Isso era o esperado já que o limite de ajuste dos dados espectroscópicos foi de w= ±82^°. Além disto, os valores de l_C determinados para a solução de w=75^° não concordaram com o valor espectroscópico obtido na seção 2.5. Decidiu-se, então, descartar estas soluções.

A princípio seria prudente, nas soluções, sempre fixar a excentricidade, pois isso forçaria uma posição correta do mínimo secundário. Mas para as soluções com w= ±40^° e w=0^° após algumas iterações, a convergência estava próxima e e foi então deixada livre, permanecendo em valores consistentes.

As soluções obtidas com w=±40^° e w=0^° estão na tabela 3.4 e os resíduos na figura 3.3. Não se percebem tendências sistemáticas nos resíduos de vby, o que comprova o bom ajuste alcançado. A curva de luz em u tem um formato um pouco diferente das outras três e não se conseguiram ajustes realmente bons para nenhum valor de w. Para resolver esse problema tentou-se, inicialmente, melhorar o tratamento dado à reflexão da luz de uma estrela sobre a outra. Nos cálculos realizados, normalmente são feitas reflexões aproximadas, colocando a estrela que ilumina como puntual. Fêz-se, então, testes com reflexão detalhada, onde a estrela que ilumina é considerada extensa, usando uma reflexão e usando várias reflexões. Mas isso não alterou o ajuste da curva u, os resíduos continuando com tendências sistemáticas, mostrando assim que o ajuste ruim não estava relacionado com o efeito da reflexão.

Outro efeito que poderia explicar o ajuste ruim da curva de luz u seria o escurecimento por gravidade. Em sistemas binários onde as componentes se encontram um pouco próximas, como V906 Sco, forças de maré acopladas com a rotação causam deformação nas estrelas. Essa distorção no formato produz uma distribuição não uniforme da gravidade na superfície estelar, o que influencia a distribuição de brilho, tornando o disco estelar aparente mais brilhante nos pólos do que no equador e provocando, assim, o escurecimento por gravidade. Em 1924, von Zeipel demonstrou que a distribuição de fluxo F radiativo ao longo da superfície estelar deformada por rotação ou força de maré varia com a gravidade segundo

sendo b, o expoente de brilho por gravidade, igual a 1.0 para atmosferas radiativas. Em 1966, Lucy recalculou b para o caso de fluxo convectivo, obtendo 0.32.

No caso de V906 Sco, os expoentes de brilho por gravidade das duas componentes estavam sendo mantidos fixos em 1.0, os valores previstos na teoria para envelopes radiativos. Tentou-se, inicialmente, o ajuste simultåneo das quatro cores para w=0^°, deixando b_A e b_B variar. A convergência foi alcançada e foram obtidos ajustes ótimos, inclusive para a curva de luz u, com os valores b_A = 0.40 e b_B = 0.86, diferentes dos previstos na teoria. Diante destes resultados, decidiu-se tentar o ajuste para vários valores de w (-40^°, -20^°, 0^°, 40^°, 50^° e 75^°) e observar o comportamento de b_A   e   b_B. O resultado obtido está na tabela 3.5, onde vê-se que o expoente de brilho por gravidade depende bastante do valor da longitude do periastro. Como teoricamente só são possíveis valores tais que 0.32 £ b £ 1.0, e assumindo que este resultado seja correto, isso descarta as soluções para w< -10^° e w>60^°.

As soluções para w=50^°   e   -20^°, feitas para melhor determinar a variação de b_A e b_B, foram acrescentada na tabela 3.4. Os valores de terceira luz usados nestas soluções foram os obtidos para w=40^°   e  0^°, respectivamente.

Na tabela 3.6 encontram-se as soluções obtidas com os coeficientes de brilho por gravidade livres e -20^° < w< 50^°. Os resíduos destas soluções estão na figura 3.4 e vê-se que não há tendências sistemáticas em nenhuma das cores.

A componente primária é menos massiva do que a secundária e por isso menos evoluída na sequência principal. Devido a isso seria esperado que ela fosse melhor descrita pela teoria do que sua companheira. Supondo, então, que o expoente de brilho por gravidade da primária está próximo de 1, enquanto o expoente da secundária não está muito longe deste valor, uma boa solução seria a calculada para w=50^° e valores de b variáveis (sol. 11, tab. 3.6). Entretanto a convergência dessa solução foi muito mais difícil de ser atingida do que a de w=40^°, pois após algumas iterações, o conjunto de paråmetros calculados começou a oscilar com uma amplitude próxima aos valores dos erros determinados pelo ajuste de mínimos quadrados, mas nunca atingindo a convergência. Esse tipo de efeito sugere que o limite da convergência está próximo. Por isso decidiu-se adotar os valores de expoente de brilho por gravidade calculados com w=40^°. A solução final, apresentada na última coluna da tabela 3.6, foi obtida com w=40^° e o ajuste simultåneo das curvas de luz e velocidade radial.

O paråmetro F_out nas tabelas 3.4 e 3.6 indica a porcentagem preenchida, pela estrela, da superfície crítica do lobo de Roche. A secundária, mais evoluída, já preencheu cerca de 84% de sua superfície crítica, enquanto a primária somente 70%, segundo a solução final. Isto confirma a suposição inicial que V906 Sco é um sistema evoluído, mas ainda sem contato entre as componentes. Assim, os paråmetros obtidos da análise do sistema são representativos de paråmetros de estrelas solitárias e por isto espera-se uma boa concordåncia entre os elementos absolutos determinados para cada componente e modelos de evolução estelar.

Durante todo este processo de busca dos paråmetros do sistema, verificou-se sempre a coerência entre os dados espectroscópicos e fotométricos. Assim, tanto os valores de l_C quanto os de L_B/L_A calculados na seção 2.5 concordam com os obtidos das observações fotométricas nas 4 cores. Os valores da razão das massas, obtidos na seção 2.3, também concordaram com o obtido dos dados espectroscópicos através do WD.

Os elementos fotométricos médios de V906 Sco estão na tabela 3.7. Eles foram obtidos com a solução final (tab. 3.6), mas concordam com todas as outras soluções consideradas válidas (sol. 9 a 11 da tabela 3.6). No apêndice B (figura B.2) mostra-se como as componetes primária e secundária evoluem em suas órbitas, de acordo com os paråmetros obtidos na solução final.

Os paråmetros espectroscópicos finais estão listados na tabela 3.8. Eles foram determinados com w=40^°, o valor fotométrico adotado, e reproduzem a diferença de fase entre os mínimos primário e secundário, concordando, desta maneira, tanto com os dados espectroscópicos quanto com os fotométricos. Eles foram obtidos com o programa SBOP usando o método de Lehmann-Filhes com a opção de resolver as curvas de velocidade radial das duas componentes simultaneamente. Foram feitas cinco soluções na faixa de valores aceitáveis de e e w e os erros na tabela 3.8 foram determinados de maneira a haver concordåncia entre todas as soluções calculadas.