Correção do movimento solar na astrofísica extragaláctica primitiva

As observações de desvios para o vermelho de galáxias fora do Grupo Local são bastante comuns em astrofísica extragaláctica. Se os desvios espectrais são interpretados como os resultados de velocidades radiais, estas devem ser corrigidas da contaminação pelo movimento do Sol. Discutimos os detalhes destas correções, na forma como foram feitas pelo astrônomo norte-americano Edwin Hubble em seu trabalho seminal de 1929. Os estudos das nebulosas espirais realizados pelo astrônomo sueco Knut Lundmark, em 1924, são também abordados neste contexto.

1. Introdução

Qual é a causa dos desvios para o vermelho das galáxias? Rigorosamente, esta é ainda uma questão em disputa. Podemos, no entanto, adotar a hipótese mais óbvia, i.e., a de que eles são originários do movimento das galáxias, especificamente de um movimento de afastamento das mesmas do observador, ou seja, o fenômeno físico responsável pelos desvios espectrais observados é o chamado efeito Doppler. Os desvios para o vermelho são usualmente representados pela letra z. Para z < 0,1, a velocidade de afastamento é então dada por v ≅ cz, onde c é a velocidade da luz no vácuo (Soares 2009a, Fig. 3).

As observações são feitas a partir da Terra, a qual possui um movimento de rotação, responsável pelos dias e noites, e um movimento orbital em torno do Sol. Estas velocidades são variáveis, dependendo do instante da observação, mas possuem amplitudes de, respectivamente, 0,5 km/s e 30 km/s, que são, em geral, muito menores do que as velocidades das galáxias. Mesmo assim, as observações são corrigidas por causa destes movimentos, e as velocidades das galáxias tornam-se velocidades heliocêntricas, ou seja, referidas ao Sol.

Devemos, em seguida, considerar o movimento do Sol. Este consiste do movimento no interior da Via Láctea mais o movimento da Via Láctea em relação ao campo geral das galáxias, ou, como prefere o astrônomo Edwin Hubble (1936, pág. 106) “em relação às nebulosas”. As observações das galáxias são expressas, como vimos, “em relação ao Sol”, e para termos o movimento das galáxias em relação ao campo geral das galáxias devemos remover o movimento do Sol em relação a este mesmo campo. Descreveremos a seguir este procedimento, segundo o método descrito quantitativamente por Hubble em seu influente artigo de 1929 e, bastante claramente descrito de forma qualitativa, em seu livro de 1936 intitulado The Realm of the Nebulae. Na seção 3, nós aplicamos o método de Hubble à amostra de seu contemporâneo, o astrônomo Knut Lundmark. Apresentamos as nossas cosniderações finais na seção 4.

2. Correção do movimento solar

Each observed velocity was thus a combination of (a) the “peculiar motion” of the nebula, as the individual motion is called, and (b) the reflection of the solar motion (a combination of the motion of the sun within the stellar system [i.e., dentro do sistema da Via Láctea] and the motion of the stellar system with respect to the nebulae). If sufficient nebulae were observed, their random peculiar motions would tend to cancel out, leaving only the reflection of the solar motion to emerge from the totality of the data.

(…)

Actually, the residual motions were still large and predominantly positive. The unsymmetrical distribution indicated the presence of some systematic effect in addition to the motion of the sun [em relação às nebulosas] .

O “efeito sistemático” mencionado acima foi modelado por Hubble simplesmente como Kr — uma constante vezes a distância até a galáxia —, ao contrário de outros contemporâneos que acrescentavam termos quadráticos e até logarítmicos em r.

Quantitativamente, seguiremos Hubble (1929). A velocidade de uma galáxia observada da Terra, após a correção heliocêntrica, pode ser escrita, de acordo com a relatividade clássica, como a composição de duas velocidades:

. (1)

A letra “R” representa o “referencial das nebulosas”. O movimento do referencial das nebulosas em relação ao Sol é dado pelo “reflexo” — como escreve Hubble — do movimento solar em relação ao referencial das nebulosas, ou seja:

. (2)

À página 170 de Hubble (1929), a letra “v” representa a velocidade radial de uma galáxia medida em relação ao Sol, ou seja, é uma das componentes do vetor velocidade. De acordo com a explicação de Hubble mostrada acima, podemos escrever então a expressão para v, onde aparecem separados o “efeito sistemático” proporcional à distância r e o “reflexo” do movimento solar:

. (3)

A Figura 1 mostra, no sistema equatorial de coordenadas, a velocidade (X,Y,Z) = (−X_⊙,−Y_⊙ −Z_⊙) e a velocidade v de uma galáxia qualquer. As coordenadas α e δ na figura são, respectivamente, a ascensão reta e a declinação da galáxia.

Figura 1 As componentes da velocidade simétrica à velocidade do Sol (X, Y e Z) e a velocidade radial v de uma galáxia no sistema de coordenadas equatorial. A ascensão reta da galáxia é α e a sua declinação é δ.

A projeção de (X,Y,Z) sobre a linha de visada de uma galáxia qualquer — o segundo termo do lado direito da eq. 3 — pode ser deduzido da Fig. 1 e é mostrado explicitamente a seguir:

. (4)

Esta é a mesma equação que aparece à página 170 de Hubble (1929). Através dela e das observações das galáxias (velocidades e distâncias) podemos obter o movimento solar em relação ao referencial das galáxias:

. (5)

Temos neste problema quatro incógnitas a serem determinadas, K, X, Y e Z. Em geral, temos muito mais do que quatro galáxias observadas, e o sistema de equações resultante será superdeterminado (mais equações do que o número de incógnitas). Esta é uma situação relativamente comum em astrofísica. Por exemplo, um sistema estelar binário pode ser observado espectroscopicamente em muitas fases orbitais gerando um conjunto de observações muito maior do que o número de incógnitas do problema (inclinação e excentricidade orbitais, razão de massas, etc.).

A seguir, realizaremos este procedimento com a lista de galáxias estudadas por aquele que é, por muitos considerado, um dos precursores de Hubble. Ao final do procedimento deveremos obter o movimento solar e o equivalente à moderna “constante de Hubble” para a expansão das galáxias.

3. As nebulosas espirais de Knut Lundmark

A Figura 2 mostra os dados de Lundmark (1924, Tabela III). Ele determinou as distâncias das nebulosas comparando os seus tamanho e brilho aparentes com o tamanho e brilho de M31. Assim as distâncias são dadas em termos da distância até M31 d_M31 (veja mais detalhes em Soares 2013). Usando o valor moderno de d_M31=784 kpc (Stanek e Garnavich 1998), sobrepomos aos dados algumas relações de proporcionalidade na forma v=Hₒd, onde Hₒ representa o conceito moderno de “constante de Hubble”. O valor Hₒ=12 (km/s)/Mpc é a inclinação da reta ajustada aos dados de Lundmark, mas forçada a passar pela origem. Um ajuste linear aos dados possui uma interseção positiva no eixo das velocidades de aproximadamente 600 km/s e uma inclinação Hₒ≅3 (km/s)/Mpc. A interseção com o eixo das velocidades indicaria a contaminação dos dados pelo movimento solar. Podemos então tentar remover o movimento solar usando o mesmo procedimento adotado por Hubble em seu trabalho de 1929.

Figura 2 As galáxias de Lundmark (1924, Tabela III) sem a correção do movimento solar. As distâncias das galáxias são dadas em termos da distância até M31. As retas representam “leis de Hubble” com diferentes parâmetros de Hubble, em (km/s)/Mpc, adotando-se o valor moderno de dM31=784 kpc. A inclinação Hₒ=12 (km/s)/Mpc corresponde ao ajuste de v=Hₒd para os dados de Lundmark. Ver também Soares (2013). O valor da constante de Hubble medido atualmente é 72 (km/s)/Mpc, com um erro de 10% (cf. Freedman et al. 2001 e Soares 2009b).

Para a remoção do movimento solar deveremos resolver um sistema de equações superdeterminado, como vimos no final da seção 2. Temos um modelo (com um conjunto de N incógnitas ou parâmetros — N=4 em nosso caso, K, X, Y e Z) que deve reproduzir uma série de M observações, sendo que M é bem maior do que N. Esta última característica é que faz o sistema de equações ser chamado de superdeterminado.

Nosso problema consiste em fazer mínimas as diferenças entre a predição do modelo (o lado direito da eq. 4) e a medida do observável (a velocidade radial de uma galáxia, i.e., o lado esquerdo da eq. 4). Na prática, o que minimizamos é a soma dos quadrados das diferenças entre a predição (que podemos chamar de valor calculado) e o valor observado. Este é o tradicional método dos mínimos quadrados.

O resultado obtido, reproduzindo-se a metodologia de Hubble (1929), implica em correções nas velocidades observadas que, de forma surpreendente, não afeta significativamente a determinação da constante K (a moderna “constante de Hubble”). Ela é aproximadamente a mesma se utilizarmos a amostra inicial ou a amostra corrigida. Para ilustrar este aspecto, apresentamos a seguir, na Fig. 3, os diagramas V×R para a amostra de Lundmark (1924), sem as velocidades negativas e, além disto, sem as galáxias elípticas e irregulares, de acordo com o conhecimento moderno. Estas galáxias não são apropriadas para o método de cálculo de distâncias de Lundmark, o qual baseia-se numa comparação de tamanho e brilho aparentes com uma galáxia espiral, M31. Esta amostra possui 30 galáxias.

A Fig. 3 apresenta três diagramas: a amostra sem correção e um ajuste v=Kr, a amostra corrigida pelo movimento solar de Hubble (1929) e um ajuste v=Kr, e a amostra corrigida pelo movimento solar, pelo método dos mínimos quadrados aplicado à eq. 4 e a reta v=Kr resultante. Como podemos ver, a constante de Hubble em todos os três casos não é substancialmente diferente. Os valores encontrados são, por outro lado, menores do que valor moderno de Hₒ=72 (km/s)/Mpc. Compare-se, no entanto, este valor com o encontrado por Hubble (1929), Hₒ=465 ± 50 (km/s)/Mpc. Dois fatores contribuíram para a melhor performance dos dados de Lundmark: o seu método de distâncias, mais simples e confiável que o de Hubble, e a utilização do valor da distância até M31, que era, naturalmente, desconhecido na época.

Figura 3 A amostra de Lundmark (1924), sem as galáxias com velocidades negativas (6) e sem as galáxias elípticas (6) e irregulares (2). Das 44 originalmente presentes em sua Tabela III ficaram 30. As retas representam “leis de Hubble” com diferentes parâmetros Hₒ nas unidades (km/s)/Mpc, adotando-se o valor moderno de dM31=784 kpc.

A correção do movimento solar, como preconizado por Hubble, varia com a profundidade (distância) da amostra de galáxias. As distâncias maiores estão, em virtude da maior dificuldade de observação, mais afetadas por erros. Sendo assim seria interessante selecionar uma subamostra de Lundmark próxima, cujas distâncias seriam mais bem avaliadas e, além disto, semelhantes às distâncias de Hubble (1929). Este procedimento proporcionaria a oportunidade de uma comparação direta com o resultado obtido por Hubble. Sabemos hoje que Hubble subestimou as suas distâncias por um fator de ≈10. A maior distância de Hubble é 2,0 Mpc (veja sua Tabela 1). Podemos restringir a amostra de Lundmark para galáxias mais próximas que 10×2,0=20 Mpc. Fazendo isto chegamos a uma amostra de 12 galáxias. Refizemos o procedimento da Fig. 3 e o resultado está na Fig. 4.

Figura 4 As 12 galáxias mais próximas da amostra de Lundmark (1924) com distâncias consistentes com a amostra de Hubble (1929). As retas representam “leis de Hubble” com diferentes parâmetros Hₒ nas unidades (km/s)/Mpc, adotando-se o valor moderno de dM31=784 kpc. O parâmetro Hₒ obtido nos três casos (sem correção do movimento solar, com correção do movimento solar obtido por Hubble e com a correção calculada com a amostra) é próximo do valor medido atualmente Hₒ=72±10% (km/s)/Mpc.

Novamente, como vemos na Fig. 4, a correção do movimento solar não afeta significativamente a determinação de Hₒ. Incidentalmente, é interessante ressaltar que a amostra original de Hubble (excluindo-se as velocidades negativas) sem correção do movimento solar fornece uma correlação linear v=Kr, com K=446 (km/s)/Mpc, consistente com o valor determinado por ele após a correção do movimento solar (K=465 ± 50).

Qualitativamente, o movimento solar obtido com a amostra reduzida de Lundmark é compatível com o de Hubble. O ápex do movimento solar em Hubble (α=19 horas e δ=+40 graus) situa-se aproximadamente na direção da estrela Vega, a estrela mais brilhante da constelação de Lira. Com a amostra das 12 galáxias de Lundmark, o ápex situa-se próximo, no limite entre as constelações de Lira e da Raposa (α=19 horas e δ=+23 graus). Contudo, a imprecisão das distâncias em ambas as amostras torna quase irrelevante esta semelhança.

4. Considerações finais

A ideia de que deveria haver uma componente de movimento sistemático nas velocidades das nebulosas, como mencionado no início da seção 2, não foi de Hubble. Ela fora introduzida pelo astrônomo alemão Carl Wilhelm Wirtz (1876-1939) em 1918, a exemplo do que já se fazia na determinação do movimento solar relativamente às estrelas (Hubble 1936, pág. 107). Wirtz supôs então a existência de um termo K (ou correção K) de velocidade constante (K do alemão konstant), que deveria ser subtraído das velocidades das nebulosas, antes de se determinar o movimento solar:

, (6)

onde K é a correção de velocidade que deveria ser aplicada a v. Com esta correção e a remoção do movimento solar, a situação dos resíduos das velocidades das nebulosas de Wirtz melhorava, mas ainda não era totalmente satisfatória: eles não se distribuíam de forma completamente aleatória — como esperado — e, além disto, o termo K obtido era de cerca de 800 km/s, intrigantemente grande e comparável ao movimento solar resultante (≈700 km/s).

A situação melhoraria bastante ao se introduzir a correção K variável com a distância, como fez Hubble em 1929 (cf. eq. 4). O movimento solar determinado por ele, desta forma, foi de cerca de 300 km/s, na direção aproximada de Vega (Hubble 1936, pág. 114), e os resíduos de velocidades eram satisfatoriamente aleatórios. A genialidade de Hubble foi a sua decisão de adotar a mais simples hipótese de correção K variável, qual seja, a do tipo Kr, enquanto outros astrônomos se perdiam em expressões K(r) muito complicadas, e naquele ponto, desnecessárias e mesmo injustificadas. Hubble, por outro lado, estava ciente de que a relação v=Kr era consistente com a previsão do modelo cosmológico de de Sitter (Hubble 1929, pág. 173).

Como vimos, a correção do movimento solar na astrofísica extragaláctica primitiva não se revelou importante na determinação do parâmetro teórico de expansão, principalmente por causa dos significativos erros nas determinações de distâncias. Na astrofísica extragaláctica e cosmologia modernas, no entanto, as distâncias e desvios espectrais são determinados com precisões muito melhores e a correção do movimento solar torna-se parte fundamental na determinação de parâmetros teóricos.

Hoje em dia, as observações de galáxias fora do Grupo Local a partir de determinado observatório são submetidas a duas correções. Primeiro, como antes, faz-se a correção heliocêntrica, e em segundo lugar, diferentemente do que foi feito acima, faz-se uma correção para o movimento do Sol em relação ao baricentro — ou centroide — do Grupo Local de galáxias. As velocidades passam então a ser referidas ao centro do Grupo Local, e daí podem ser utilizadas para a investigação de questões extragalácticas, tal como o problema da expansão do universo. Para os detalhes técnicos destas correções ver, por exemplo, os artigos de Yahil, Tammann e Sandage (1977) e de Karachentsev e Makarov (1996).

Referências

W.L. Freedman et al., Astrophysical Journal 553, 47 (2001).

E.P. Hubble, Proceedings of the National Academy of Sciences 15, 168 (1929).

E.P. Hubble, The Realm of the Nebulae (Yale University Press, New Haven, 1936).

I.D. Karachentsev, D.A. Makarov, Astronomical Journal 111, 794 (1996).

K. Lundmark, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 84, 747 (1924).

D. Soares, COSMOS:15jan13 (2013).

D. Soares, O efeito Hubble (http://www.fisica.ufmg.br/~dsoares/ensino/efhub.pdf, 2009a).

D. Soares, A idade do universo, a constante de Hubble e a expansão acelerada (http://www.fisica.ufmg.br/~dsoares/ageunv/idadeunv.pdf, 2009b).

D. Soares, Universo relativista: expansão no espaço ou do espaço? (http://www.fisica.ufmg.br/~dsoares/expn/expn.htm, 2012).

K.Z. Stanek, P.M. Garnavich, Astrophysical Journal Letters 503, L131 (1998).

A. Yahil, G.A. Tammann, A. Sandage, Astrophysical Journal 217, 903(1977).