Colóquio 21/10/2022: Matrizes aleatórias e sistemas complexos

Entender como a estrutura de redes aleatórias impacta suas propriedades espectrais permanece sendo um dos problemas centrais no estudo de sistemas complexos. Os autovalores e autovetores de matrizes aleatórias associadas a grafos ou redes determinam, por exemplo, a estabilidade de sistemas biológicos, como redes neurais e ecossistemas, e o comportamento crítico de certos modelos na vizinhança de transições de fase. Neste colóquio eu irei discutir como matrizes aleatórias fornecem a linguagem natural para modelar as interações em sistemas complexos, e como técnicas de matrizes aleatórias têm nos levado a avanços teóricos importantes no estudo dos autovalores e autovetores de redes. Na primeira parte do colóquio, eu irei introduzir ideias básicas sobre matrizes aleatórias e ressaltar algumas diferenças entre os autovalores de matrizes Gaussianas e matrizes esparsas. Esta última classe de matrizes aleatórias permite modelar redes complexas.

Na segunda parte do colóquio, eu irei apresentar alguns resultados analíticos simples que permitem entender como a topologia de redes complexas influencia o comportamento do autovalor principal e seu autovetor correspondente. Em particular, eu irei mostrar que as flutuações na estrutura da rede induzem uma transição no gap espectral e uma transição de localização no autovetor principal. Como um exemplo de aplicação, eu irei discutir como os resultados analíticos para o autovalor principal levam a conclusões gerais sobre a estabilidade linear de sistemas complexos.