Adicionada por Luiz Paulo on 20 00, 2006 at 13:54:36:
Em resposta à : mecanica fundamental, CM e momento d inércia adicionada por Marilia em 19 00, 2006 at 13:50:04:
Marilia,
Nao tenho acesso aa apostila do curso de Mecanica
Fundamental, pois esse Forum e' mais dedicado para
o curso de Fundamentos de Mecanica. As respostas
que darei farao, portanto referencia aa apostila
de nosso curso (Fundamentos de Mecanica)
1- Seu enunciado deve estar errado e, em vez do
paraboloide estar limitado pelo plano y=b, deve
ser z=b. Da forma que voce propos, o volume NAO
e' limitado. Vou considerar o plano z=b:
Para achar o CM de seu seu paraboloide, veja o
exemplo resolvido para o CM de um cone de raio R e
altura h, de numero 8.13 da apostila de Fundamentos.
O raciocinio e' o mesmo: divida o seu paraboloide
em discos de espessura dz e raio r a um certo
valor de z. O volume desse disco sera'
dV = pi r^2 dz, e sua massa dM sera' proporcional
ao seu volume (densidade uniforme). O raio r do
disco sera' r^2 = x^2 + y^2 = z/a, que pode ser
substituido na expressao de dM. Agora e' so'
integrar a definicao de z_{CM}, de z=0 a b.
2- A esfera solida e uniforme, quando macica,
possui o CM em seu centro. A cavidade esferica
continha uma esfera de massa menor, mas macica e
uniforme, cujo CM estava em seu proprio centro.
A massa da primeira esfera esta' para seu volume,
assim como a massa da esfera que foi retirada para
fazer a cavidade esta' para o seu volume, menor.
Se voce considerar a esfera de raio a como sendo
composta da esfera de raio b centrada em c MAIS
o resto (a esfera com a cavidade), a posicao do
CM dessa esfera macica voce conhece, assim como
conhece a posicao do CM da esfera de raio b.
Monte a equacao da posicao do CM da esfera
composta (definicao do CM) e voce encontrara' a
posicao da esfera com cavidade.
3- Voce nao especificou os eixos em torno dos
quais calcular o momento de inercia do fio em
forma de U: nao da para calcular. Mas certamente
e' a aplicacao do teorema dos eixos paralelos com
as 3 secoes de reta.
Para o paraboloide, voce tambem nao espeficica
qual eixo, Vou supor que sera o eixo z. Use o
mesmo esquema que expliquei antes: divida o
paraboloide em discos de espessura dz a uma
altura z, que possuirao raios r (iguais aos de
antes). Cada disco contribui com um momento de
inercia
dI = 1/2 r^2 dm
substitua r^2 e dm por variaveis relacionadas com
z e com a densidade do paraboloide e integre entre
z=0 e z=b.