Adicionada por Luiz Paulo on 20 00, 2010 at 13:46:48:
Em resposta à : Questao 10.11 - Sears e Semnansky adicionada por Caio em 19 00, 2010 at 23:03:26:
O coeficiente de atrito cinético pode ser aproximado como sendo igual a μ N (coeficiente de atrito vezes a normal). Esse atrito, que o machado faz sobre o esmeril, atua na borda do esmeril (você tem seu raio) e na tangente. Esse atrito produz um torque em relação ao eixo do esmeril, no sentido de freiar o mesmo.
Como foram dados as velocidades inicial e final do esmeril, além do tempo gasto para pará-lo, você pode calcular a aceleração angular:
ωfinal = 0 = ωinicial + acelangular t
ou seja,
acelangular = - ωinicial/t (o sinal negativo diz simplesmente que a aceleração angular é oposta à velocidade inicial).
As forças que atuam no esmeril são:
1- seu peso (causado pela Terra, atua no centro do esmeril e aponta verticalmente para baixo)
2- a força normal exercida pelo machado (aponta para o centro do esmeril)
3- a força de atrito exercida pelo machado (μ vezes a normal, atua paralela à borda do esmeril, no sentido de freiar a rotação do esmeril)
4- uma força que o eixo faz, para que ele não saia do lugar (atua no centro do esmeril).
Como o esmeril não sai do lugar (não acelera linearmente), a soma dessas forças tem que ser zero. Entretanto, como o esmeril acelera angularmente e freia até parar, a soma dos torques que atuam no esmeril, em relação a determinado ponto, será a responsável pela frenagem do mesmo. Será, também, igual a seu momento de inércia, em relação ao mesmo ponto em relação ao qual se calculou o torque total, multiplicado pela sua aceleração angular. Já possuímos a aceleração angular (calculada acima) e, como se trata de um disco sólido, podemos calcular seu momento de inércia facilmente.
Vamos escolher o centro do esmeril como sendo nosso ponto de referência para calcular tanto o torque total como o momento de inércia:
(torque total em relação ao centro) = (momento de inércia em relação ao centro) (aceleração angular) ou τcm = Icm α
O torque total será a soma dos torque de cada força, todos calculados em relação ao mesmo ponto: τtotal = τpeso + τforça eixo + τnormal + τforça atrito. O peso não exerce torque (pois atua no centro do esmeril). Pelo mesmo motivo, a força do eixo sobre o esmeril também não exerce torque. A normal também não exerce torque, mas agora porque o ângulo entre sua direção e a da posição de sua aplicação em relação ao centro é 180 graus e, pela definição de torque, seu módulo é zero. A única força a exercer torque será o atrito. Como ela atua na direção da tangente à borda do esmeril, o ângulo entre sua direção e a do vetor que marca seu ponto de atuação em relação ao centro deo esmeril será 90 graus. Seu torque terá o módulo Fa R, onde Fa é o módulo da força de atrito e R o raio do esmeril. Então, lembrando que foram fornecidos o diâmetro do esmeril (D) e o valor da normal (N), e que o momento de inércia de um disco sólido de massa M e raio R é I=MR2/2
Fa R = μ N D/2 = I aceleração angular = 1/2 M (D/2)2 ωinicial/t,
de onde tiramos
μ = [ 1/2 M D/2 ωinicial t ] / N
Tome cuidado com as unidades, pois o omega inicial foi formecido em rev/min, o tempo em segundos. Na equação acima, o omega tem que estar em radianos/segundo. O coeficiente de atrito não possui unidade, sendo um número puro.