Adicionada por Luiz Paulo on 30 00, 2009 at 11:40:06:
Em resposta à : Ex 10.16 adicionada por Vitor em 30 00, 2009 at 09:34:13:
A resposta do livro está correta.
Você tem que usar
dI = dm (r')^2 (1)
para a contribuição de uma casca cilíndrica fina de raio (r') e espessura dr', dentro do cilindro oco. A massa total desse cilindro oco está para seu volume como a massa da casa fina está para seu volume infinitesimal. Considerando que a altura do cilindro é H,
dm = 2 M H r' dr'/[H(R^2 - r^2)] = 2M r' dr'/(R^2 - r^2)
onde M é a massa do cilindro oco, H sua altura (cancela, acima, e não interessa no problema), R seu raio externo e r seu raio interno. Substituindo esse dm na Eq (1) você tem
dI = 2M/(R^2 - r^2) (r')^3 dr'
e voce integra variando r' de r a R, o que dá
I = 2M/(R^2-r^2) [(r')^4]/4
calculado entre os limites de r a R, o que dá a resposta do livro (lembre-se de produtos notáveis):
I = 2M/[4(R^2-r^2)] (R^4 - r^4) = M (R^2 + r^2)(R^2 - r^2)/[2(R^2 - r^2)]