Adicionada por Luiz Paulo on 14 00, 2009 at 17:04:48:
Em resposta à : Problema 8.11 Alaor adicionada por Frederico Luiz em 13 00, 2009 at 23:08:00:
Esse problema eh muito semelhante ao Exemplo-resolvido 8.13, de um cone. A diferenca eh que aqui trata-se de um hemisferio (uma semi-esfera). Essencialmente, as "unicas" diferencas estao:
1) na densidade de massa, pois antes tratava-se de um cone e agora temos que a massa total esta' para o volume total da semi-esfera assim como a massa dos elementos de massas esta' para o elemento de volume:
M -> V_total = 1/2 4/3 pi R^3
dm -> dV = pi r^2 dy
Simplificando:
dm = M r^2 dy / [ 2/3 R^3 ] (1)
a outra diferenca esta' na dependencia de r com y, que antes era linear e agora eh:
2) r^2 + (R-y)^2 = R^2 ou
r^2 = R^2 - (R-y)^2 (2)
Substitua esse r^2 da Eq. (2) na Eq.(1) , desenvolva, coloque os termos constantes para fora da integral e voce terah a integral que deseja. Voce pode olhar numa tabela de integrais como resolve-la.