Medidas e resultados em um experimento.

I- Introdução

O estudo de um fenômeno natural do ponto de vista experimental envolve algumas etapas que, muitas vezes, necessitam de uma elaboração prévia de uma seqüência de trabalho - um projeto. Antes de tudo, deve-se ter clareza sobre o problema que se pretende estudar, ou seja, ter um entendimento da proposta de estudo. Para isto é fundamental que se consiga elaborar os objetivos pretendidos.

Obviamente, antes de se começar o experimento propriamente, o material necessário à sua realização - equipamentos e instrumentos, ferramentas de cálculo e tratamento de medidas, etc. - deve ser preparado e colocado em um ambiente adequado. Após a determinação das etapas a serem desenvolvidas e a maneira de desenvolvê-las, ou seja, o procedimento a ser seguido, passa-se à sua execução. É comum, sobretudo em ciências naturais, a obtenção de informações através da realização de um conjunto de medidas. O resultado dessas medidas passa por uma análise devendo, posteriormente, ser preparado para apresentação (tabelas, gráficos, tratamento matemático).

Chega-se, então, à parte onde a participação de quem está trabalhando no experimento, o “experimentador”, é das mais significativas: a interpretação dos resultados e a conclusão e análise crítica geral de tudo o que foi feito. Geralmente, escreve-se um relatório de maneira a deixar registrado todo o trabalho realizado. Ao se escrever o relatório, o “experimentador” deve considerar que ele tem que ser suficientemente claro e completo de maneira a permitir que uma pessoa com um nível de formação semelhante ao seu compreenda o quê, como e por que foi feito o trabalho, e qual a relevância dos resultados encontrados.

O presente texto pretende servir como um guia introdutório, resumido e de rápido acesso, para os estudantes de disciplinas experimentais de Física básica. Não se tem aqui a intenção de ser completo e exaustivo; algumas referências bibliográficas serão dadas, no sentido de permitir um aprofundamento maior em alguns pontos, caso seja do interesse do estudante.

II.- Medidas: os resultados e seus desvios ou erros

Conforme foi dito anteriormente, em ciências naturais a coleta de informações é comumente feita através da realização de um conjunto de medidas de grandezas relacionadas direta ou indiretamente com a análise do fenômeno em questão.

II.1- Medidas diretas e indiretas, algarismos significativos e valor mais provável

Medir uma grandeza significa compará-la com uma outra de mesma natureza, escolhida como unidade. O resultado dessa comparação denomina-se medida da grandeza e nela estão contidas três informações:

- o valor numérico, que é um número inteiro ou fracionário;

- a precisão, expressa pelo número de algarismos significativos e pelo desvio;

- a unidade correspondente utilizada.

O sistema de unidades normalmente utilizado é o Sistema Internacional (SIU); o Apêndice SIU traz uma lista das unidades fundamentais neste sistema.

Em experimentos realizados com uma qualidade aceitável, as medidas são feitas com instrumentos calibrados tais como réguas, paquímetros, cronômetros, voltímetros, termômetros e muitos outros. A menor graduação do instrumento representa o menor valor que ele é capaz de medir com confiança. Por exemplo, não faz sentido querer medir o diâmetro de um fio de cabelo usando uma régua graduada em milímetros; a maior precisão que se pode ter de uma medida realizada com esta régua, é a precisão de um milímetro, podendo-se estimar o valor entre duas divisões.

Ao se medir o diâmetro de uma moeda de 1 real com a régua graduada em milímetros, uma pessoa pode escrever como resultado d = 27,2 mm. Aqui o valor numérico da grandeza é 27,2 e a unidade é o milímetro; esse resultado tem 3 algarismos significativos sendo que o último é incerto ou duvidoso.

Analisemos um pouco mais esse resultado. Primeiramente, é claro que se trata de uma medida direta: foi feita uma comparação direta do diâmetro da moeda com uma régua graduada em milímetros. O resultado tem 3 algarismos significativos sendo um duvidoso (em qualquer resultado tem-se, em geral, apenas um algarismo duvidoso!).

Essa pessoa poderia querer escrever seu resultado usando outra unidade de comprimento, como por exemplo o metro; nesse caso ela deveria escrever

d = 0,0272 m    ou    d = 2,72 x 10-2 m

e, em ambos os casos, continuaríamos tendo 3 algarismos significativos, com um duvidoso, e com a precisão na casa dos décimos de milímetro.

Ou seja, o simples fato de mudar a unidade escolhida para descrever um resultado não pode alterar a sua precisão. Os algarismos “zero” que aparecem antes do primeiro algarismo diferente de zero não são significativos; depois, sim. Sendo assim, não é correto escrever
d = 27,20 mm pois, nesse caso, teríamos 4 algarismos significativos com o algarismo duvidoso sendo o zero; nessa situação o resultado expressaria uma precisão - centésimo de milímetro - que a régua não tem! Poder-se-ia dizer que numericamente é “a mesma coisa” mas do ponto de vista científico não é: não se pode alterar a precisão de um resultado acrescentando algarismos significativos a ele.

O perímetro p da moeda de 1 real pode ser calculado a partir da medida do seu diâmetro, usando a relação p = 2pr sendo r o raio da moeda. Assim, tem-se p = 85,5 mm podendo-se dizer que foi feita uma medida indireta do perímetro da moeda uma vez que a grandeza medida diretamente foi o diâmetro e a partir dele é que se encontrou o perímetro. Seria possível medir diretamente o perímetro da moeda utilizando-se uma fita métrica flexível, mas não foi esse o caso. Outra grandeza que poderia ser encontrada a partir da medida do diâmetro da moeda é a área da sua face S = pr2. Assim, teríamos S = 581 mm2 que é a área da face da moeda, obtida indiretamente.

Observa-se que foi mantido o número de algarismos significativos igual a 3 nos resultados obtidos tanto para o perímetro quanto para a área. Sempre que se opera com medidas o resultado também deverá conter apenas um algarismo duvidoso.

O valor do diâmetro da moeda apresentado é o resultado de uma única medida feita por uma única pessoa. É possível, e provável, que outras pessoas encontrem valores ligeiramente diferentes. Mesmo a própria pessoa, ao realizar a medida várias vezes, pode encontrar um conjunto de valores diferentes entre si, distribuídos em torno de um determinado valor. Em situações desse tipo, o que se faz comumente é encontrar o valor médio e utilizá-lo como o valor mais provável para a grandeza. Supondo que quatro medidas do diâmetro d da moeda tenham fornecido os valores 27,2 mm; 27,0 mm; 27,2 mm e 27,1 mm, o valor numérico mais provável seria d = 27,125 mm. (Atenção: por enquanto, está sendo apresentado apenas o valor numérico; o resultado correto, considerando-se o número de algarismos significativos, é apresentado na próxima seção.) Aqui foi feita uma média aritmética simples para se encontrar o valor mais provável. Há situações em que são utilizados métodos estatísticos mais complexos; alguns casos serão apresentados durante o curso.

II.2- Incerteza ou desvio de uma medida

II.2.1- Medidas diretas: erro de leitura e desvio médio

Como no caso que foi descrito anteriormente, repetindo-se a medida de uma grandeza várias vezes, são encontrados valores nem sempre iguais. Os valores diferentes encontrados podem ser devidos tanto à habilidade de quem realizou as medidas quanto ao instrumento utilizado, ao método empregado, às dificuldades intrínsecas ao processo, etc. As flutuações nos valores medidos são chamadas de erro, ou incerteza ou desvio.

Durante um processo de medida podem ocorrer erros sistemáticos e erros aleatórios. Os erros sistemáticos são devidos a problemas de calibração ou fabricação de um aparelho ou a um erro de procedimento; quando acontece esse tipo de erro os valores encontrados nas medidas são afetados sistematicamente “para mais” ou sistematicamente “para menos”. Os erros aleatórios, também chamados erros estatísticos, afetam desordenadamente a medida, às vezes para mais, às vezes para menos. Esse tipo de erro é intrínseco a qualquer processo de medida e é importante saber calculá-lo ou estimá-lo para que o resultado final de um trabalho experimental seja expresso corretamente.

No caso de medidas diretas, os desvios podem ser facilmente encontrados. Quando se realiza uma única medida de uma grandeza, o desvio pode ser encontrado usando diferentes procedimentos mas é sempre importante usar o bom senso. Uma regra amplamente difundida é a de que, no caso de medida única, o desvio (erro de leitura) deve ser a metade da menor divisão da escala do instrumento de medida. Por exemplo, para se medir a largura l de uma folha de papel A4 com uma régua de 300 mm alguém poderia considerar como desvio, a metade de uma unidade correspondente à menor divisão, ou seja, 0,5 milímetro. Assim a medida da largura da folha seria escrita como l = (211,5 ± 0,5) mm. O resultado escrito dessa maneira indica que há uma incerteza de 0,5 mm (desvio absoluto) na determinação da largura da folha.

Entretanto, se essa régua for usada para medir a altura da porta da sala de aula, é claro que o desvio não mais poderá ser de 0,5 mm. O procedimento de posicionar a régua várias vezes para completar a medida eleva muito o erro na determinação da altura da porta, devendo este ser da ordem de centímetro.

Portanto, essa regra tão difundida de que o desvio é a metade da menor divisão da escala deve ser usada com muito cuidado, sendo poucas as vezes em que ela pode ser aplicada corretamente.

Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógico ou qualquer instrumento com ponteiro, tem-se que prestar atenção se a leitura é estável ou se o ponteiro oscila em torno de um valor. Se o aparelho indicar um valor fixo, pode-se considerar como desvio a própria precisão do instrumento ou, no caso de não se ter essa informação, usar uma unidade da menor divisão da escala utilizada. Se houver oscilação, é mais razoável calcular o desvio a partir dos limites desta oscilação: o resultado de uma medida poderá ser qualquer valor dentro da faixa de oscilação!

No caso de aparelhos digitais, pode acontecer também de o resultado se apresentar sem flutuações, ou se apresentar oscilando. A avaliação do desvio deverá, então, ser feita como no caso anterior.

Freqüentemente é possível e aconselhável realizar várias medidas da mesma grandeza para se encontrar um resultado mais preciso.

Quando se realizam N medidas de uma mesma grandeza, deve-se encontrar o seu valor médio - o qual será o valor mais provável - e tomar como desvio, a média dos valores absolutos das diferenças entre o valor mais provável e cada valor individual.

O seguinte experimento ilustra uma situação deste tipo. Para se determinar a altura de uma cachoeira, algumas pessoas mediram o tempo de queda de pedrinhas soltas em queda livre de um mesmo local. Conhecendo-se o tempo de queda t, pode-se calcular a altura h a partir da relação cinemática h = ½ g t 2 onde g é a aceleração da gravidade. Foi utilizado um cronômetro com precisão de centésimos de segundo e os valores ti obtidos em 8 medidas foram: 1,30 s; 1,09 s; 1,03 s; 1,27 s; 1,18 s; 1,31 s; 1,24 s; e 1,15 s. A dispersão dos valores, entre 1,03 s e 1,31 s, se deve à dificuldade intrínseca do processo particular de medida e ao fato de que a precisão do instrumento utilizado (centésimo de segundo) é bem maior do que a capacidade das pessoas de medir tempo com um tal cronômetro. Para se encontrar o valor mais confiável para a altura h deve-se, então, usar o valor mais provável de tempo < t > e o respectivo erro ou desvio absoluto Dt; numericamente teremos:

                                                                                                  (eq. 1)

=  (1,30 + 1,09 + 1,13 + 1,27 + 1,18 + 1,31 + 1,24 + 1,15) s = 1,196 s

                                                                                        (eq. 2)

=  (0,104 + 0,106 + 0,066 + 0,074 + 0,016 + 0,114 + 0,044 + 0,046) s = 0.071 s

e, respeitando-se o critério de se escrever o desvio com um algarismo significativo, a resposta correta para o resultado encontrado para o tempo de queda:

 = (1,20 ± 0,07) s.

Utilizando-se esse resultado e considerando-se g = (9,784 ± 0,001) m/s2, chega-se ao valor h = (7,0 ± 0,8) m. O desvio de 0,8 m foi encontrado usando os processos que estão descritos na seção II.2.2.

Deve-se observar que a repetição da medida de uma grandeza várias vezes pode melhorar a precisão na sua determinação mas esta não deve ir além da precisão do instrumento utilizado para medi-la.

Ao se escrever o valor de uma grandeza com o seu respectivo desvio, está-se indicando um intervalo de valores aceitáveis para ela, de acordo com o procedimento em questão.

II.2.1a- Desvio absoluto e desvio relativo

Nos resultados encontrados anteriormente, estão expressos os valores das grandezas e seu desvio absoluto, ou seja, tempo de queda foi determinado como sendo 1,20 s com um desvio absoluto de 0,07 s e para a altura, foi encontrado o valor de 7,0 m com desvio absoluto de 0,8 m. Na medida do tempo cometeu-se um erro de 0,07 segundos em 1,20 e na medida da altura o erro foi de 0,8 metros em 7,0. É muito comum e muito útil expressar resultados em termos do desvio relativo, Dt / < t >, no caso do tempo, e Dh / h no caso da altura.

O desvio relativo é quem melhor indica a precisão da medida e é comum expressá-lo em termos percentuais. No presente caso ele é de aproximadamente 0,058, ou ~6%, para o valor do tempo de queda das pedrinhas, e de aproximadamente 0,117, ou ~12%, para a altura da cachoeira. Comparando-se os desvios relativos, pode-se ver qual grandeza foi determinada com maior precisão.

II.2.2- Medidas indiretas: propagação de erros

Uma medida é indireta quando é obtida a partir de expressões matemáticas que a relacionam com outras grandezas medidas diretamente. Em um exemplo anterior, a altura da cachoeira foi medida indiretamente, através de medidas diretas do tempo de queda das pedrinhas. De maneira geral, uma grandeza f pode ser função de outras grandezas x, y, z, t, etc., cada uma com seu respectivo erro Dx, Dy, Dz, Dt, etc.:

f = f (x ± Dx, y ± Dy, z ± Dz, t ± Dt, …)

Ao expressar o resultado de f, obtido indiretamente a partir de cálculos, é importante apresentar qual é o desvio associado, ou seja, qual é o resultado da propagação dos erros.

Considere a seguinte situação física: um corpo se desloca em linha reta com aceleração constante, de tal forma que a distância percorrida X (em metros) varia com o tempo t (em segundos) de acordo com a equação

                                                                                                          (eq. 3)

Coloca-se a seguinte questão: após um tempo medido de t = (7,5 ± 0,4) s, qual a distância percorrida pelo corpo? A resposta trivial para a questão é X = 281,25 m. Entretanto, do ponto de vista de tratamento de medidas, esta resposta está incompleta e incorreta. Considerando que a medida de tempo tem um erro de ±0,4 s, fica a pergunta: como este erro afeta o valor calculado da distância? Ou seja, qual desvio DX deverá ser atribuído à distância calculada X? Para responder a esta questão, será dada aqui uma visão rápida do que se chama propagação de erros. Existem várias maneiras de acompanhar a propagação dos erros em medidas indiretas; aqui serão ilustrados dois métodos.

II.2.2a- Método baseado no cálculo diferencial

A maneira formal utilizada no cálculo de propagação de erros é baseada no cálculo diferencial. Para ilustrar este método, apelaremos para um processo mais ou menos intuitivo, deixando o rigor e o detalhamento matemático para o estudo de diferenciais e derivadas parciais abordado em disciplinas de Cálculo Matemático. A figura 1 mostra o gráfico da distância percorrida X em função do tempo t .

Fig. 1 Gráfico da distância X em função do tempo t para X = 5t2

Considere que as medidas de tempo foram todas tomadas com o mesmo desvio Dt = ±0,4 s. Então, tempos diferentes, por exemplo t1 = 7,5 s e t2 = 20,0 s, com o mesmo erro Dt, resultam em erros bastante diferentes nos valores correspondentes de distâncias, conforme se vê na figura 1. Quanto maior a inclinação da curva (que é a sua derivada), mais significativa é a conseqüência do erro da variável tempo para a função distância. A associação da derivada de uma função com a propagação de erro permite uma analogia útil no cálculo do erro no caso de uma grandeza que é função de outras.

A derivada f'(X) de uma função de várias variáveis pode ser escrita como o quociente entre os diferenciais da função e da variável:

f'(X) = Þ                      d f(X) = f ’(X) . d X

É razoável usar a aproximação de que a diferencial (acréscimo infinitesimal) de uma grandeza pode ser tomada como um erro (acréscimo mensurável) nesta grandeza e pode-se escrever:

Df (X) @ f'(X) DX         ou melhor       Df(X) @ |f'(X)| DX                                   (eq. 4)

onde o valor absoluto |f'(X)| é tomado para garantir sempre um valor positivo para o erro Df, que determinará a faixa de valores possíveis de f.

A partir dessas considerações, pode-se aplicar a equação 4 no cálculo da propagação do erro para o presente exemplo, ou seja, encontrar o erro DX a partir do erro
Dt = 0,4s. Teremos, então:

DX @ |X'(t)| Dt = 10t Dt  já que a derivada de X = 5 t 2 em relação a t é 10t

e, assim,

{

DX = (10 x 7,5 x 0,4)m = 30m = (3 x 10) m para t1

DX = (10 x 20,0 x 0,4)m = 80m = (8 x 10) m para t2 .

 

Os valores para as distâncias serão:

{

X1 = 5 t12 = 5 x 56,25 = 281,25 m

X2 = 5 t22 = 5 x 400 = 2000 m.

 

e os resultados corretos, lembrando-se de usar apenas um algarismo significativo para o erro, deverão ser escrito como:

X1 = (2,8 ± 0,3) x 102 m

X2 = (2,00 ± 0,08) x 103 m

Foi necessário usar potência de dez para expressar o resultado corretamente pois os números 30 e 80 têm dois algarismos significativos. Na forma de erros relativos, os resultados acima seriam X1 = 2,8 x 102 m com um erro de 11%, e X2 = 2,00 x 103 m com um erro de 4%. Observe que o número de algarismos significativos do valor da grandeza tem que respeitar a precisão dada pelo erro absoluto calculado a partir do erro percentual.; por exemplo, não é correto escrever X1 = (2,81 x 102 m ± 11%).

Esse processo pode ser estendido aos casos onde a grandeza a ser determinada depende de várias variáveis, ou seja, depende da medida de várias outras grandezas com seus respectivos erros. Seja a função f dependente de x, y, z, etc. Estas variáveis são grandezas medidas e assim, a cada uma delas tem um erro experimental Dx, Dy, Dz, etc. Assim:

f = f (x ± Dx, y ± Dy, z ± Dz, t ± Dt, …)


Para encontrar o erro Df de f, basta generalizar o resultado obtido para uma variável, equação 4, para essa situação de várias variáveis. Assim, pode-se escrever:

…                                                    (eq. 5)

onde  representa a derivada parcial de f com relação a x. A derivada parcial de uma função com relação a uma de suas variáveis é calculada como uma derivada normal, considerando todas as outras como constantes.

Como um exemplo de aplicação de propagação de erros em uma grandeza calculada através de outras duas ou mais grandezas, considere a situação em que foram medidas a massa m e a velocidade v de um carro e deseja-se calcular qual é sua energia cinética E. Sejam

m = (1,2 ± 0,1) x 103 Kg, e v = (20,0 ± 0,5) m/s

A energia cinética E é dada pela fórmula E = ½ m v 2. Usando a eq. 5, o desvio em E será:

             Þ                                         

Efetuando-se os cálculos com os valores das medidas tem-se 2 x 104 J para o erro e 24 x 104 J para o valor da energia cinética. Assim, o resultado escrito corretamente é

                   E = (24 ± 2) x 104 J = (2,4 ± 0,2) x 105 J

 

Como exemplo de aplicação da eq. 5 em outros casos, fica aqui, como exercício, a demonstração das seguintes afirmações:

· Se f é a soma ou subtração de grandezas x, y, z, … então

Df = Dx + Dy + Dz + … (o desvio absoluto em f é a soma dos desvios absolutos das grandezas x, y, z,…).

· Se f é a multiplicação de uma grandeza x por uma constante k então

Df = k Dx (o desvio absoluto em f é k vezes o desvio absoluto da grandeza x).

· Se f é a divisão de uma grandeza x por uma constante k então

Df = Dx / k (o desvio absoluto em f é o desvio absoluto da grandeza x dividido por k).

· Se f é a multiplicação ou divisão de grandezas x, y, z,… então

Df/f = Dx/x + Dy/y + Dz/z + …(o desvio relativo em f é a soma dos desvios relativos das grandezas x, y, z,…).

· Se f é a potência n de uma grandeza x, então

Df/f = n Dx/x (o desvio relativo em f é n vezes o desvio relativo da grandeza x).

 


II.2.2b - Método dos valores limites

Uma outra maneira de se estimar o desvio de uma grandeza f obtida indiretamente é calculando-se os valores limites que f pode assumir a partir dos valores máximos
(x + Dx, y + Dy, …) e mínimos (x - Dx, y - Dy, …) das grandezas x, y, z, … Considere, como exemplo, um experimento de movimento retilíneo com aceleração constante a, onde uma partícula percorre uma distância d, em um tempo t. Foram medidos valores para a distância e o tempo, com desvios Dd e Dt respectivamente, ou seja, (d ± Dd) e (t ± Dt), encontrando-se (12,0 ± 0,4) m, e (4,0 ± 0,2) s.

O valor da aceleração é dado por a = . Então, os seus valores limite serão:

amáx =                      = 2 x (12,4 m) / (3,8 s)2 = 1,7175 m/s2           (eq. 6)

amín =                        = 2 x (11,6 m) / (4,2 s)2 = 1,3152 m/s2          (eq. 7)

O valor médio da aceleração (ainda sem considerar o número correto de algarismos significativos) será

a =                        = (1,7175 + 1,3152) / 2 = 1,5163 m/s2          (eq. 8)

e o desvio em a sendo dado (com um algarismo significativo) por

Da = .                    = (1,7175 - 1,3152) / 2 = 0,2 m/s2                 (eq. 9)

O valor para a aceleração deverá ser expresso corretamente como:

a = (1,5 ± 0,2) m/s2                   ou                          a = 1,5 m/s2 com 13% de desvio.

Através do cálculo do erro propagado, tem-se uma idéia de quão sensível é o resultado à medida de cada uma das variáveis. No exemplo anterior, o erro no valor da aceleração é mais sensível ao erro na medida de tempo (dependência com o quadrado) do que o erro na medida de distância (dependência linear).

Os cálculos de desvios, muitas vezes, são feitos com a ajuda de calculadoras e programas de computador. Entretanto, é de grande importância que o “experimentador” tenha uma boa noção dos processos empregados nesses cálculos e ainda saiba, usando o bom senso, estimar a precisão de um resultado.

II.3- Precisão e confiabilidade de uma medida

Os conceitos de precisão e de confiabilidade são, freqüentemente, confundidos. Uma medida pode ser muito precisa e não ser confiável, por exemplo, quando for feita usando um instrumento de alta precisão, porém descalibrado. O contrário também pode acontecer, ou seja, uma medida ser pouco precisa mas ser confiável. É importante, portanto, distinguir os dois conceitos:

medida confiável à é aquela onde os erros sistemáticos são muito pequenos;

medida precisa à é aquela onde os erros aleatórios são muito pequenos.


III- Apresentação de resultados experimentais: Tabelas e Gráficos

III.1- Tabelas

O primeiro estágio de apresentação de uma série de medidas resultante de um experimento é através de tabelas que, em geral, já são montadas durante o processo de obtenção de dados. Embora em cada experimento se deva decidir pela forma de tabela mais conveniente, é mostrado a seguir um padrão de tabela que se adapta à maioria dos experimentos que serão feitos nas disciplinas experimentais de Física.

Considere um experimento onde se aplica tensão elétrica V entre 10 e 50 V em um resistor e mede-se a corrente I gerada. A tabela 1 mostra uma forma conveniente de apresentar os valores obtidos:

Tab. 1- Valores da tensão aplicada no resistor e a correspondente corrente.

Tensão (V ± 1%)

Corrente (10-3 A)

11,3

22,5 ± 0,2

15,8

31,8 ± 0,3

19,5

40,0 ± 0,4

22,7

44,4 ± 0,4

29,1

59,2 ± 0,6

38,4

76,1 ± 0,8

42,3

83,8 ± 0,8

50,0

99,3 ± 0,9

 

Deve-se observar que:

·      toda tabela deve ter uma legenda;

·      no cabeçalho da tabela é importante vir a especificação das grandezas que foram medidas com suas unidades e a estimativa dos erros, absolutos ou relativos, a elas associados; se cada medida apresentar um erro diferente, deve-se especificá-lo após cada uma;

·      o número de algarismos significativos das medidas deve ser compatível com os erros especificados.

 

III.2- Gráficos

A construção de gráficos associando as variáveis medidas em um experimento é bastante interessante, pois permite uma visualização rápida do tipo de dependência existente entre as grandezas estudadas. Existem vários tipos de gráficos, cada um se adequando melhor às grandezas medidas e ao tipo de relações que se deseja fazer entre elas. Uma forma de gráfico bastante comum em experimentos de física é aquele relacionando duas grandezas onde cada valor de uma está associado a um valor correspondente da outra. O gráfico a seguir, mostrando a relação entre as grandezas tensão e corrente representadas na tabela anterior, ilustra uma forma comumente utilizada.

Fig. 2  Exemplo de um gráfico: Tensão elétrica V versus corrente I em um resistor.

Deve-se ter atenção que um gráfico deve conter:

·      título e/ou legenda;

·      nome da grandeza em cada eixo com sua respectiva unidade;

·      dimensionamento correto da escala.

Uma observação rápida do gráfico anterior permite identificar uma relação linear entre as duas grandezas analisadas.

IV- Tratamento matemático de dados: Ajuste de uma reta por regressão linear

O gráfico da seção anterior sugere, visualmente, que existe uma relação linear entre a tensão elétrica aplicada e a corrente no resistor. Isso significa que, procurando-se uma relação matemática que associe a corrente I no resistor sujeito a uma tensão V, deve-se encontrar a equação de uma reta, ou seja, uma equação do tipo:

                                                                                                                                   (eq. 10)

onde a constante B representa a inclinação da reta e a constante A o valor da grandeza y quando = 0. Para o caso do resistor podemos escrever especificamente

É possível traçar no gráfico uma reta que, visualmente, melhor equilibra os pontos medidos e, então, determinar os valores de A e B (faça isso). Entretanto, existem processos matemáticos objetivos que estabelecem a melhor reta que se ajusta aos pontos medidos. O processo mais utilizado com esse intuito é chamado regressão linear.

Geralmente, todo processo operacional de ajuste, ou seja, a obtenção das constantes A e B que definem a reta, será feito por calculadora ou computador. No entanto é interessante que se tenha conhecimento da origem das fórmulas empregadas e do processo de cálculo envolvido.

 


IV.1- Regressão Linear:

Pode-se dizer que regressão linear é a:

“determinação da equação de uma reta que melhor se sobrepõe aos resultados de medidas relacionando grandezas linearmente dependentes.

Considere a série de pontos experimentais genéricos (xi, yi) colocados na tabela 2 e no gráfico da figura 3.

Tab. 2- Resultados experimentais de duas grandezas hipotéticas x e y

y (u.a.)

x (u.a.)

y1

x1

y2

x2

.

.

.

.

.

.

yn

xn

Fig. 3 Pontos experimentais definindo uma reta; di.é a diferença entre a ordenada yi medida para xi e o correspondente valor calculado pela equação da reta.

 

Se a melhor curva que passa por estes pontos é a reta desenhada, podemos escrever sua equação na forma y = A + B x ,onde A é o ponto onde a reta corta o eixo vertical, em = 0, e B a inclinação da reta escolhida.

Observando o gráfico da figura 3 notamos que para o ponto xi, o valor experimental corresponde é yi , mas, pela reta escolhida, a ordenada correspondente a xi será A + B xi . Desta forma, para cada ponto xi existe uma diferença di, ou resíduo, entre o valor experimental medido e o valor de y calculado pela reta:

.

Alguns resíduos são positivos e outros negativos. Uma grandeza que daria uma visão de “quão boa” é a reta calculada, seria:

                                                                                (eq. 11)

a qual representa a soma dos quadrados dos resíduos de todos os pontos.

A melhor reta que ajusta os pontos experimentais é aquela que minimiza D, ou seja, deve-se achar os valores de A e B tais que D seja mínimo.

Como D é uma função de A e B, para que ele seja mínimo devemos ter:

           e         

Derivando a equação 11 tem-se:

 =       e         =

Assim, para que D seja mínimo, devemos ter:

                                                                                  (eq. 12a)

                                                                             (eq. 12b)

que é um sistema de duas equações com duas incógnitas A e B que determinam a melhor reta y = A + Bx, que passa pelos pontos experimentais (xi, yi).

A solução de 12 é simples e dá como resultado os seguintes valores para A e B:

  =                                              (eq. 13)

 =                                (eq. 14)

Todos os somatórios apresentados aqui são para i de 1 até N, onde N é o número de pares de valores experimentais (xi, yi).

Uma descrição mais completa do método nos permitiria ainda determinar estatisticamente os desvios (incertezas) associadas às constantes A e B calculadas. Aqui serão dados apenas os resultados dos cálculos destes desvios:

      e        

Obs. 1) Existe um parâmetro estatístico, chamado coeficiente de determinação, que permite avaliar a qualidade do ajuste. Para os propósitos das atividades aqui propostas esse parâmetro tem pouca relevância e, portanto, não será tratado.

Obs. 2) No método da regressão linear, todos os pares ordenados têm a mesma importância. Em alguns casos, condições físicas impõem que alguns pontos tenham mais importância que outros (muitas vezes, por exemplo, a reta deve passar pela origem). Neste caso, você pode entrar com os correspondentes pares de valores várias vezes para aumentar sua importância nos cálculos. A reta tenderá a passar mais próxima deste ponto.

IV.2- Considerações gerais

O processo de superpor uma curva descrita por uma equação a um conjunto de pontos experimentais não se aplica apenas quando a relação entre as grandezas é linear. Sempre que existir algum modelo ou previsão teórica para a relação matemática entre as grandezas, é possível encontrar os parâmetros que ajustem a curva correspondente com os resultados experimentais. O método matemático genérico que permite esse tipo de ajuste é chamado de “Método de Mínimos Quadrados” pois, como foi exemplificado no caso particular do ajuste da reta, são procurados os parâmetros que minimizem o quadrado das diferenças di (eq.11) entre o valor medido e o correspondente valor calculado. Muitos programas atuais de tratamento de dados permitem se fazer um ajuste diretamente de uma função matemática estabelecida pelo usuário.

Na seção seguinte será apresentado um procedimento que permitirá, através da linearização de um gráfico, usar ainda a regressão linear apresentada na seção IV.1.

 


V- Tratamento matemático de dados: linearização de gráficos

É muito freqüente em física se lidar com fenômenos onde duas grandezas x e y se relacionam linearmente, ou seja, y = A + Bx. Nesses casos, a partir da regressão linear dos pares de resultados obtidos (x, y), é possível encontrar as constantes A e B da reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais, conforme descrito na seção anterior. Usando os valores dessas constantes é possível tirar informações importantes relativas ao experimento.

Há, obviamente, experimentos onde a relação entre as grandezas estudadas não é linear, o que significa que essas grandezas não estão relacionadas por uma equação de reta. Em situações como esta, a obtenção de informações relevantes ao experimento pode ser feita de mais de uma maneira. Apresenta-se a seguir o procedimento de linearização, usando a Lei de Coulomb com exemplo.

V.1- Linearização

Considere uma situação física onde duas pequenas esferas carregadas positivamente com cargas q1 e q2 estão separadas de uma distância r; existe uma repulsão elétrica mútua entre elas com forças iguais e opostas F1 e F2, como indicado na figura abaixo.

Fig. 4 - Duas cargas positivas q1 e q2 separadas por uma distância r, se repelem com forças F1 e F2

Foi realizado um experimento, dispondo-se de um equipamento apropriado, onde se variou a distância r entre as cargas e mediu-se o valor do módulo F da força de repulsão.Os resultados encontram-se na tabela 1 e um gráfico de F versus r é mostrado na figura 5.

Tabela 3- Valores da força F em função da distância r entre duas cargas q1 e q2

F (± 0,004 N)

r (± 0,1 x 10-2 m)

2,913

2,489

1,412

0,957

0,783

0,513

0,357

0,199

0,128

0,089

0,065

0,050

0,039

0,032

1,0

1,2

1,5

1,8

2,0

2,5

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

Fig. 5 – Módulo da força F de repulsão elétrica entre duas pequenas esferas carregadas em função da distância r de separação entre elas.

Uma abordagem formal desse problema de força elétrica entre duas cargas pontuais mostra que a relação matemática entre F, q1, q2 e r é:

 onde K é uma constante que vale 9,0 x 109 N.m2/C.               (eq. 15)

Esta relação é conhecida como Lei de Coulomb.


Considerando-se que as cargas q1 e q2 nas esferas não variam, deve-se esperar que a força entre elas varie com o inverso do quadrado da distância. Pode-se colocar, então, a seguinte questão:

como verificar se os dados experimentais concordam com a previsão teórica?

Esta questão já foi respondida anteriormente em situações onde a relação entre as grandezas estudadas é linear e o método de regressão linear pôde ser usado para se achar a equação da reta que melhor se ajusta aos dados obtidos. No presente caso, a relação entre F e r não é linear e não se pode aplicar este método diretamente. Existem maneiras de se ajustar qualquer tipo de equação a dados experimentais; entretanto aqui será mostrado um método que aproveita os conhecimentos já empregados no uso da regressão linear. Primeiramente tem-se que passar o gráfico obtido por um processo de linearização. Tal procedimento consiste em se encontrarem novas grandezas, que sejam funções das originais, e que tenham entre si uma relação linear.

A Lei de Coulomb afirma que a força elétrica entre duas cargas pontuais varia com o inverso do quadrado da distância entre elas, ou seja, para valores de cargas constantes, pode-se escrever a lei física que deve corresponder ao presente experimento na forma:

      onde                       =  constante.

Definindo-se uma outra variável X igual ao inverso do quadrado de r, tem-se uma relação entre F e X que é linear, ou seja, definindo-se uma grandeza X= 1/ r 2, tem-se F = C X. Assim, construindo-se o gráfico de F (ordenada) em função de X (abscissa), se encontrará uma reta pois F varia linearmente como o inverso do quadrado de r. Sendo assim, pode-se fazer uma regressão linear considerando as novas grandezas:

onde

Esses resultados são apresentados na figura 6.

Fig. 6 - A força F entre duas cargas elétricas é linear com o inverso do quadrado da distância entre elas = 1/r2. Os parâmetros do ajuste por regressão linear estão incluídos no gráfico.

O procedimento para se linearizar um gráfico depende de cada situação pois as equações envolvidas na análise do problema é que irão dar a “receita” do que deve feito para se encontrarem novas variáveis, que serão funções das anteriores, de maneira que elas tenham relação linear entre si. No caso aqui apresentado, o procedimento foi simplesmente representar a força e o inverso do quadrado da distância.

V.1.1- O uso da função logaritmo.

Uma maneira muito comum de se procurarem relações que linearizem um gráfico é aplicar a função logaritmo. Entretanto, deve-se ter o cuidado em utilizar esse expediente apenas em situações em que pelo menos uma das variáveis envolvidas no experimento esteja no expoente. Por exemplo, vários fenômenos físicos têm uma descrição formal entre as variáveis x e y do tipo:

                        ou                                                     

sendo ai e bi constantes quaisquer, os quais necessitam da função logaritmo para a linearização.

O uso do logaritmo na situação do exemplo anterior de força entre cargas elétricas pode levar a um mascaramento do comportamento das grandezas. Por exemplo, tomando-se o logaritmo de ambos os lados da eq. 15 tem-se uma nova relação matemática correspondente ao experimento:

  com   .

A equação anterior tem a forma de equação de uma reta:

onde, agora,

Ao se fazer a regressão linear nos novos dados, o parâmetro B' será ajustado por métodos de mínimos quadrados podendo ser encontrado um valor diferente de -2. Isto é feito pois, ao buscar o mínimo da soma dos quadrados das diferenças di (ver eq. 11), o método leva as flutuações naturais a qualquer processo de coleta de dados, para os parâmetros ajustáveis A' e B'. Entretanto, sabe-se muito bem que o expoente da distância entre as cargas pontuais na Lei de Coulomb é 2 (exatamente!) e não tem sentido se querer ajustar esse valor, ou seja, esta não é uma variável no problema.

É importante chamar a atenção de que o processo de linearização de um gráfico consiste simplesmente em encontrar as ordenadas e abscissas adequadas de forma que a relação entre elas seja linear. Em várias situações o uso da função logaritmo pode ser o processo mais conveniente, mas não é sempre assim.

A escolha da maneira mais conveniente para se fazer a linearização de um gráfico deve ser orientada no sentido de se obter, de forma mais simples, as constantes procuradas.