14 de novembro de 2022
O sábio inglês Isaac Newton (1643-1727) propôs em meados do século 17 a primeira teoria científica de gravitação,
de grande utilidade até os dias atuais. No primeiro quarto do século 20, o genial físico alemão
Albert Einstein (1879-1955) apresentou uma grande melhoria no entendimento da gravitação com a sua
Teoria Geral da Relatividade (TRG). Esta permitiu a formulação de modelos cosmológicos, ou seja, modelos para
a história do universo físico. O matemático e cosmólogo russo Alexander Friedmann (1888-1925) foi um dos primeiros
a aplicar a TRG a um universo hipotético com o objetivo de entender o universo real. O universo de Friedmann consiste de
um fluido de matéria e energia homogêneo que representa o universo complexo em que vivemos. Todo o conteúdo do universo
é “moído” numa espécie de poeira cósmica, o fluido de Friedmann. As equações da TRG são tremendamente
simplificadas ao serem aplicadas a este fluido. Os modelos de Friedmann são a base do modelo padrão da cosmologia moderna,
o modelo do Estrondão. Este modelo tem apresentado enormes problemas para se estabelecer cientificamente. É importante,
então, conhecê-lo bem se quisermos oferecer alguma contribuição para a sua melhoria ou eventual substituição.
A gravitação newtoniana também permite propor um modelo do universo, bastante simplificado, que pode ser então cotejado com o modelo de Friedmann e permitir sua melhor compreensão. É o que farei aqui. Apresento as funções de energia potencial de dois modelos newtonianos análogos aos modelos cosmológicos de Friedmann. O objetivo da analogia é a discussão didática dos modelos de Friedmann sem e com “constante cosmológica”, que é representada usualmente pela letra grega λ maiúscula, i.e., Λ. Ela representa um termo de repulsão cosmológica acrescentado por Einstein, em 1917, nas equações de campo originais da TRG, com o objetivo de contrabalançar a atração gravitacional intrínseca do fluido cósmico e assim obter o seu modelo estático de universo, que foi o primeiro modelo cosmológico relativista. Os modelos de Friedmann apareceram na década de 1920.
Nas analogias seguintes, imaginemos toda a massa do universo iniciando o movimento de expansão a partir
da origem no espaço e no tempo (R = t = 0). Newtoniamente, isto equivale a um corpo sendo lançado
da origem com uma velocidade inicial qualquer e Friedmanniamente, ao Estrondão com velocidade de expansão
inicial arbitrária.
em que G é a constante universal de atração gravitacional e M é a massa do universo. O universo é modelado como uma massa pontual contendo toda a massa e as galáxias são corpos de prova, que se movem no seu campo gravitacional e possuem massa total desprezível em relação a M. Trata-se, portanto, de um modelo bastante simplificado, mas que é útil para algumas análises qualitativas.
Os universos de Friedmann aberto, plano (ou crítico) e fechado podem ser visualizados neste modelo, conforme a energia total do sistema. Teremos então:
Os modelos aberto e plano representam universos espacialmente infinitos. O modelo plano recebe este nome porque a geometria espacial em grande escala é euclidiana, i.e., obedece aos postulados e teoremas da geometria de Euclides de Alexandria (c. 300 a.C.). O modelo fechado é finito e expande-se até um tamanho máximo, representado, nos dois diagramas da figura 2, por Rmax, que é um ponto de retorno pois a partir daí o modelo sofre uma contração.
Os modelos aberto e plano possuem expansão desacelerada em toda a sua evolução temporal. O modelo fechado possui uma fase inicial de expansão desacelerada e em seguida uma contração acelerada. Tudo isto pode ser entendido analisando-se a conservação da energia do sistema, que pode ser escrita como:
onde K(R) é a energia cinética do sistema. Vemos que para energia total E ≥ 0, o sistema estará sempre desacelerado, pois, ao se expandir a partir da origem (R = 0), a energia potencial aumentará e, portanto, pela conservação da energia, a energia cinética diminuirá. Para E < 0, o sistema estará desacelerado ao se mover em direção a Rmax e estará acelerado ao retornar de Rmax.
Escreverei U(R) = UG(R) + UΛ(R), onde UG(R) representa a parte atrativa da energia potencial e UΛ(R) a parte repulsiva associada à constante cosmológica. Teremos, portanto:
Nesta analogia, a repulsão devida à presença da constante cosmológica está na forma da energia elástica de uma mola, com a diferença importante de ser um termo de energia negativa. A energia potencial elástica da mola usual é do tipo +(1/2)x², ou seja, resulta em uma força de atração para a origem. O termo UΛ(R) representa uma espécie de energia potencial “elástica” do tecido espaço-temporal, em que o sinal negativo gera uma força repulsiva.
Este análogo newtoniano nos permite visualizar tanto o universo estático de Einstein quanto o modelo atual do Estrondão com as suas fases de expansão desacelerada e transição para a expansão acelerada. A figura 3 mostra o análogo newtoniano e o diagrama de fator de escala em função do tempo para o modelo atual do Estrondão.
Se o sistema possuir energia total E > ET, por exemplo, E = 0, e vier em expansão a partir da origem, ele realizará uma expansão desacelerada até RT e acelerada depois de RT. Senão, vejamos.
Ao se expandir, o sistema “sobe” a crista de energia potencial até RT e em seguida “despenca” pela crista abaixo. Na subida, a energia potencial U(R) cresce e, portanto, K(R) diminui, mantendo a energia total E constante (cf. figura 3 e conservação da energia). Vemos então que o sistema está desacelerado até RT. Um raciocínio semelhante mostra que depois de RT o sistema está acelerado.
Um pouco mais:
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Domingos Soares
FLORESTA COSMOS
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