2 Postulados da Teoria da Relatividade Especial

2.1 Motivação de Einstein

Para conhecer a motivação de Einstein para criar a Teoria da Relatividade, nada melhor do que ler a introdução de seu artigo, publicado em Annalen der Physik vol. 17 (1905), que aqui reproduzimos.

"Como se sabe, a Eletrodinâmica de Maxwell tal como é entendida atualmente conduz em sua aplicação a corpos em movimento a assimetrias que não são inerentes aos fenômenos. Consideremos, por exemplo, as ações eletrodinâmicas entre um ímã e um condutor. O fenômeno observável depende apenas do movimento relativo do condutor e ímã, ao passo que, segundo o entendimento habitual, são perfeitamente distintos os casos em que um ou outro desses corpos se move. Assim se o ímã se movimenta e o condutor fique em repouso, será criado em torno do ímã um campo elétrico, com determinado conteúdo energético, que dará origem a uma corrente elétrica nas regiões onde estiverem partes do condutor. Mas se for o ímã que está em repouso e o condutor em movimento, então, embora não apareça um campo elétrico em torno do ímã, há no entanto uma força eletromotriz que não corresponde a nenhuma energia, mas que dá origem a correntes elétricas de comportamento e grandezas iguais às produzidas no primeiro caso por forças elétricas desde que haja identidade do movimento relativo nos dois casos considerados.

Exemplos deste gênero, assim como o insucesso das experiências feitas para constatar um movimento da Terra em relação ao éter levam à suposição de que , tal como na Mecânica, também na Eletrodinâmica os fenômenos não apresentam nenhuma peculiaridade que corresponda à idéia de repouso absoluto. Ao contrário, em todos sistemas de coordenadas em que são válidas as equações da Mecânica também são válidas as leis ópticas e eletrodinâmicas -- o que até a primeira ordem de grandeza já está demonstrado. Vamos elevar à categoria de postulado esta nossa hipótese (a cujo conteúdo chamaremos daqui em diante Princípio da Relatividade); vamos, além disso introduzir o postulado só aparentemente incompatível com o primeiro de que a luz , no vácuo, se propaga com velocidade determinada , independente do estado de movimento da fonte de luz. Estes dois postulados são suficientes para construir uma eletrodinâmica dos corpos em movimento, simples e livre de contradições, baseada na teoria de Maxwell para corpos em repouso. A introdução de um éter se revelará supérflua, uma vez que na teoria que vamos desenvolver não necessitamos introduzir um "espaço em repouso absoluto", nem atribuir um vetor velocidade a um ponto qualquer do espaço vazio em que ocorra um processo eletromagnético."

No texto acima colocamos em negrito os dois postulados da Teoria da Relatividade que repetimos a seguir:

1. As leis da física têm a mesma forma em todos referenciais inerciais.

2. A luz , no vácuo, se propaga com velocidade determinada , independente

do estado de movimento da fonte de luz.

.

O primeiro postulado estende o princípio da relatividade de Galileu para todas as leis da física. As equações de Maxwell devem, portanto, permanecer invariantes quando se passa de um referencial inercial para outro. Uma conseqüência imediata desses postulados é que a velocidade da luz independe do movimento uniforme relativo dos observadores, isto é, dois observadores que se movem com velocidades uniformes diferentes em relação uma fonte de luz, obterão o mesmo valor para a velocidade da luz no vácuo. Esse valor da velocidade da luz, representaremos por c.

2.2 Conseqüências dos postulados de Einstein

Os postulados da teoria da relatividade afetam vários conceitos físicos que consideramos intuitivos. Na verdade, esses conceitos são fundamentados nas idéias de espaço absoluto e tempo absoluto que não têm significado na Teoria da Relatividade e devem por isso ser revistos. Começaremos nossa análise pelo exame da idéia de simultaneidade, tal como Einstein fez em seu artigo..

Simultaneidade

Toda medida de tempo é baseada numa verificação de simultaneidade. Quando dizemos que um acontecimento ocorreu às 5 horas, estamos de fato afirmando a simultaneidade do acontecimento com a indicação do relógio correspondente a 5 horas. A sincronização de relógios exige, portanto, o estabelecimento prévio de um critério para verificar a simultaneidade de dois acontecimentos.

Aceitamos como válido o seguinte critério: Dois eventos em um referencial são simultâneos se os sinais de luz dos eventos atingem um observador eqüidistante no mesmo instante.

Consideremos a situação representada na figura ao lado. Nos pontos A e B do referencial R são colocadas lâmpadas azul e vermelha, respectivamente, comandadas por células fotoelétricas. O observador colocado em M, no meio do segmento AB, dispara um flash. A frente de luz esférica que parte de M atinge as células fotoelétricas e acende as lâmpadas. As frentes de luz que partem de A e B atingem o observador no mesmo instante, porque a velocidade da luz é a mesma para as duas frentes. Pelo critério estabelecido, o observador afirma que as

lâmpadas A e B se acenderam simultaneamente. Qualquer outro observador colocado na mediatriz do segmento AB receberá os sinais emitidos de A e B no mesmo instante e concluirá que foram emitidos simultaneamente. Com esse processo podemos sincronizar todos os relógios de um referencial. Basta que o observador se coloque em posições eqüidistantes do relógio tomado como referência e cada um dos relógios do mesmo referencial que pretende sincronizar.

O quê dirá um observador que está no referencial R, mas fora da mediatriz? Ele não verá as lâmpadas azul e vermelha acenderem no mesmo instante, mas poderá fazer um cálculo simples, que leva em conta as distâncias percorridas pelos dois feixes de luz das lâmpadas até ele e o intervalo de tempo entre a recepção dos dois sinais e concluirá que um observador no meio do segmento AB verá as lâmpadas se acenderam simultaneamente e que, portanto, o critério de simultaneidade foi satisfeito. Concluímos que se dois eventos em um referencial inercial são simultâneos para um observador no mesmo referencial, serão simultâneos para qualquer outro observador do mesmo referencial.

Mas, como tratar relógios em diferentes referenciais? Consideremos um outro referencial inercial R', que se move com velocidade u, para a direita, em relação ao referencial R. Os eixos x e x' coincidem e as origens O e O' coincidem no instante t = 0. No instante inicial o observador em R' está junto ao observador em R, na posição M. Em A e B são colocados relógios

comandados por células fotoelétricas. O observador em R' vê o referencial R mover-se para a esquerda e B aproximar-se enquanto A se afasta.. Então, a luz que

partiu do ponto M chega em B antes de chegar em A e para o observador em R' o relógio B estará adiantado em relação ao relógio A. Para esse observador, relógios de R estão adiantados em relação a relógios colocados à esquerda deles. Relógios sincronizados em um referencial inercial, não estão sincronizados em outro referencial inercial. Já mostramos como sincronizar relógios que estão no mesmo referencial; mostraremos adiante como calcular a diferença de sincronia entre dois relógios sincronizados em um referencial inercial para um observador situado em outro referencial inercial.

Dilatação do tempo

Vamos introduzir um marcador de tempo que denominaremos relógio de luz. Ele consiste de uma fonte de luz pulsada, um refletor situado a uma distância d e uma célula fotoelétrica situada ao lado do emissor. Um osciloscópio registra a emissão e recepção de pulsos de luz pela fonte de luz e pela célula fotoelétrica. Pelas marcas dos pulsos no osciloscópio, podemos calcular o intervalo de tempo entre emissão e recepção.

Como são medidos os intervalos de tempo entre dois eventos por dois observadores situados em referenciais inerciais diferentes?

 

 

 

 

O referencial R' desloca-se ao longo do eixo x do referencial R com velocidade uniforme u. O observador em R' tem um relógio de luz colocado verticalmente em relação a u. Ele aciona o relógio e verifica que o tempo medido pelo osciloscópio é exatamente o que previra D t' = . Para o observador em R, no entanto, o relógio deslocou-se do ponto x1, quando o pulso de luz foi emitido, ao ponto x2, quando o pulso foi recebido. Chamando de

de D t o intervalo de tempo medido e D t 2 =

e D t 2 =

Então,

,

Um observador em R medirá um intervalo de tempo entre os dois eventos maior do que o medido pelo observador em R' e concluirá que o relógio em R' é mais lento, ou seja, se atrasa.

Observe que o observador em R' vê os dois eventos partida do sinal da fonte de luz e chegada na célula fotoelétrica no mesmo lugar. Nesse caso dizemos que o relógio mede o tempo próprio. Em qualquer outro referencial inercial o sinal parte da fonte em uma posição e chega ao detetor em outra. O intervalo de tempo entre dois eventos medido no relógio de qualquer referencial inercial será maior do que o intervalo de tempo próprio.

A figura ao lado ilustra o conceito de tempo próprio. No referencial R os relógios A1, A2 e A3 são previamente sincronizados; o relógio A' move-se com velocidade u no referencial R. O relógio A' inicia seu movimento na posição de A1, no instante t = t' = 0.

Quando o relógio móvel passa por A2 seu ponteiro indica 10 min enquanto o ponteiro de A2 marca 15 min o relógio móvel se atrasa em relação aos fixos. Observe que no referencial R', do relógio móvel, o tempo é medido no mesmo ponto (no mesmo relógio) enquanto no referencial R o tempo é medido em dois relógios colocados em posições diferentes. Então, o relógio R' mede o tempo próprio e deve, portanto se atrasar em relação aos relógios de R.

O leitor poderá analisar o caso em que o observador em R' vê o referencial R mover-se para a esquerda.

Exemplo de dilatação do tempo (decaimento de muons na atmosfera)

O decaimento de partículas m na atmosfera constitui uma evidência da contração relativística do comprimento. Os muons são instáveis e decaem segundo a lei

N(t) = N0 , onde N0 é o número inicial de partículas e t a vida média delas. Para a partícula em repouso, t = 2× 10-6 s,. Os muons são formados no topo da atmosfera por desintegração de pions (p ) e têm velocidade v @ 0,998 c. Se considerarmos a vida média de repouso, os muons percorrerão antes de desintegrar-se a distância l = 0,998 c × 2 × 10-6 s » 600 m e não serão capazes de chegar até a superfície da Terra. Mas, devemos considerar a vida média medida no referencial da Terra:

t = 2 × 10-6 g s =30 × 10-6 s

O percurso do muon será , então, l = 0,998 c × 30 × 10-6 s @ 9 000 m , suficiente para chegar até a superfície da Terra.

Uma maneira melhor de resolver esse problema é considerar um certo número de muons, por exemplo 108, formados no topo da atmosfera e verificar quantos chegam na superfície da Terra, considerando o referencial da partícula e o referencial do laboratório. O estudante poderá fazer isto.

Problema (problema dos gêmeos).

Esse problema é aparentemente um paradoxo da teoria, mas como veremos não há paradoxo algum. Dois gêmeos fazem a seguinte experiência: um deles fica na Terra e o outro viaja numa astronave com destino a uma estrela distante. Ao retornar encontra-se com o gêmeo que permaneceu na Terra alguns anos mais velho. Explique no contexto da teoria da relatividade.

Considere o planeta Terra e a estrela a -centauri, situada à distância L = 4 anos-luz do sistema solar. O gêmeo A fica na Terra e B parte para a -centauri com velocidade u = 0,8 c. Como o movimento da Terra em torno do sol é desprezível em comparação com a distância da estrela, podemos considerar a Terra e a fixas no referencial R; A está nesse referencial. O referencial R' é o referencial da nave.

Do ponto de vista de A, B viaja por um tempo anos = 5 anos até a estrela e um tempo igual na volta, portanto A envelheceu 10 anos entre a partida e o retorno de B.

Para B o tempo de viagem é o tempo que observa em seu relógio e, portanto é o tempo próprio anos e tempo igual para a volta; ele envelheceu, portanto 6 anos e está 4 anos mais novo do que A. O aparente paradoxo está no fato de podermos colocar o referencial R na nave e R' na Terra e imaginar que A vai e volta. Nesse caso, A estaria 4 anos mais novo do que B. Essa proposta não é aceitável, porque não há simetria nos dois casos. É o astronauta B que sente a aceleração da nave ao atingir a estrela e retornar.

 

 

 

Contração do comprimento

Uma régua está em repouso no referencial R. O observador em R mede o comprimento da régua L0 = x2 x1 . Esse comprimento, medido no referencial em que a régua está em repouso, é chamado comprimento próprio.

O referencial R' se desloca com velocidade u paralela à régua. Qual será o comprimento da régua medido pelo observador de R'? Ele vê uma extremidade da régua passar por ele e, algum tempo depois, a extremidade 2 e mede o tempo D t' transcorrido entre as duas passagens, em seu relógio; D t' é um intervalo de tempo próprio, porque é medido em um único relógio. O observador do referencial R' calcula o comprimento da régua L' = u D t' . O observador do referencial S mede o tempo de passagem do observador do referencial R' pelos pontos x1 e x2, utilizando os relógios colocados em x1 e x2 , previamente sincronizados e calcula L0 = u D t. Mas,

D t' = , então, L'= u D t' = u= e como g ³ 1, L' £ L0 .

Portanto, um observador achará para o comprimento de uma régua em movimento em relação a ele um valor menor do que o medido no referencial de repouso dela. Ele observará uma régua contraída na direção do movimento. Um observador situado no referencial R', por sua vez, observará uma régua do referencial R como contraída.

Problema. Qual deve ser a velocidade relativa de dois observadores para que suas medidas de intervalo de tempo difiram da 1%?

Solução: O referencial R' de um observador tem velocidade u em relação ao referencial R do outro.

. Como D t = g D t' ,

Boas aproximações, úteis em muitos cálculos , quando u < < c, são:

, , onde

Então, , e u = 0,14 c.