Universos com constante cosmológica

21 de julho de 2015

Resumo

Apresento alguns modelos relativistas do universo, que possuem a constante cosmológica (Λ) em sua formulação. Einstein calculou o primeiro deles, inaugurando a vertente teórica de aplicação das equações de campo da Relatividade Geral com a constante cosmológica. Um dos modelos apresentados é o Modelo Padrão da Cosmologia, que atualmente goza de apoio por parcela significativa da comunidade científica.

1. Introdução

O primeiro modelo cosmológico baseado na Teoria da Relatividade Geral (TRG) foi proposto em 1917 pelo próprio criador da TRG. Einstein imaginava o universo como uma estrutura estática e, para obter o modelo relativista correspondente, introduziu uma componente repulsiva na formulação das equações de campo da TRG de modo a impedir o colapso provocado pela matéria. Esta componente aparece nas equações como um termo adicional do campo da métrica multiplicado por uma constante, a chamada constante cosmológica (ver Soares 2013a, eq. 10). A constante cosmológica é geralmente representada pela letra grega lambda maiúscula (Λ) e possui dimensões físicas de 1/comprimento².

Além do modelo estático de Einstein, outros modelos relativistas com a constante cosmológica foram propostos. Veremos que estes modelos podem ser obtidos a partir da equação de Friedmann, acrescida da constante cosmológica, e por meio de escolhas apropriadas da curvatura espacial e do conteúdo de matéria-energia do universo. O cosmólogo Steven Weinberg apresenta vários destes modelos em seu livro Gravitation and Cosmology, no capítulo intitulado Models with a Cosmological Constant (Weinberg 1972, pág. 613). Apresentarei aqui alguns dos modelos discutidos por Weinberg e um que ele não discute, a saber, o modelo moderno do universo em expansão acelerada, muitas vezes denominado Modelo Padrão da Cosmologia (MPC).

A equação de Friedmann clássica (Viglioni e Soares 2011) tem o seu campo de aplicação bastante ampliado com a inclusão da constante cosmológica Λ. O resultado é apresentado na seção seguinte. Na seção 3 apresento algumas características de três modelos de universo com constante cosmológica, o universo estático de Einstein, o universo de de Sitter e o MPC. Os universos de Einstein e de de Sitter serão apresentados, por questões didáticas, no quadro geral das equações de Friedmann, mas nunca é demais lembrar que as equações de Friedmann só foram descobertas na década de 1920, ou seja, após a proposição daqueles dois modelos. Termino, na seção 4, com algumas considerações gerais.

2. Equações de Friedmann com Λ

As equações de Friedmann são as soluções das equações de campo da TRG, quando estas são submetidas às fortes restrições de simetria impostas pelo Princípio Cosmológico (PC). O universo do PC é homogêneo e isotrópico, e possui densidade de matéria-energia ρ(t), quer dizer, ρ é apenas função do tempo cosmológico (veja seção 4 de Soares 2013a). Estas restrições simplificam enormemente as equações de campo. Por exemplo, o tensor de energia-momento reduz-se a um tensor diagonal (eq. 12, Soares 2013a).

O tensor de energia-momento ocupa o lado direito das equações de campo (eq. 4 de Soares 2013a). Para o lado esquerdo necessitamos da métrica espaço-temporal que descreve o sistema físico em foco. Em 1935, o físico-matemático norte-americano Howard Robertson (1894-1975), e quase que simultaneamente, o matemático inglês Arthur Walker (1909-2001) deduziram, a partir de argumentos puramente geométricos, a expressão matemática da métrica espaço-temporal de um fluido que obedece ao PC. De acordo com Harrison (2000, pág. 285), “eles mostraram rigorosamente que os universos que obedecem ao PC têm um espaço-tempo que separa-se univocamente em um espaço curvo em expansão e em um tempo cósmico que é comum a todos os observadores comóveis” (i.e., solidários à expansão; veja também a seção 3 de Soares 2009a, onde a expressão matemática da métrica de Robertson-Walker é apresentada).

As soluções das equações de campo para a métrica de Robertson-Walker são as equações de Friedmann. Elas descrevem de forma completa o balanço de matéria e energia (eq. 1) e a dinâmica (eq. 2) do fluido cósmico:

, (1)

. (2)

S é o fator de escala do universo, k é a constante de curvatura espacial, ρ é a densidade de matéria-energia e p é a pressão do fluido cósmico (ver mais detalhes abaixo da eq. 12 de Soares 2013a). A constante de curvatura vale, para um universo fechado e esferico, k = +1/R², onde R é o raio de curvatura do espaço esférico. Para um modelo crítico (ou plano), R → ∞, e, portanto, k = 0. O universo aberto possui raio de curvatura imaginário, implicando em uma constante de curvatura negativa, k = −1/R² (espaço hiperbólico). Note que, como a constante cosmológica, a constante de curvatura possui dimensões físicas de 1/comprimento².

As equações de Friedmann assim obtidas, a partir das equações de campo mais o termo cosmológico de Einstein (também eqs. 16 e 17 de Soares 2013a) são a base da maioria dos modelos cosmológicos modernos, com ou sem Λ. Neste último caso basta fazer Λ = 0 nas eqs. 1 e 2. Na seção seguinte apresento três modelos de universo com Λ.

3. Modelos relativistas com Λ

Apresento aqui três universos com Λ. O primeiro deles é o universo estático de Einstein, o modelo pioneiro da cosmologia relativista moderna. A constante cosmológica foi introduzida por Einstein em suas equações de campo para produzir uma componente energética repulsiva e assim compensar exatamente a componente energética atrativa originada no conteúdo de matéria-energia do universo. Einstein não tinha razões, em 1917, para imaginar um universo que não fosse em grande escala estático. Em 1930, o astrofísico britânico A. Eddington (1882-1944) mostrou de forma cabal que o modelo era instável, lançando dúvidas capitais quanto à sua viabilidade (veja a discussão da estabilidade energética do modelo estático de Einstein na seção 3 de Soares 2012).

O segundo deles é um modelo dinâmico, mas de uma estranha qualidade: não possui matéria, apenas a componente energética originada com a introdução da constante cosmológica. Apesar de estranho, tal modelo pode ser útil para a representação do universo real. Afinal de contas nada impede que o conteúdo de matéria do universo seja, não exatamente nulo mas, aproximadamente nulo, i.e., matematicamente desprezível. E mesmo assim suficiente para gerar galáxias, estrelas, planetas, humanos, etc. O responsável por este modelo foi o físico, matemático e astrônomo holandês Willem de Sitter (1872-1934). O modelo de de Sitter foi proposto também em 1917, logo após a proposta do universo de Einstein.

O terceiro modelo apresentado é o MPC, o Modelo Padrão da Cosmologia, o universo teórico aceito por parcela considerável da comunidade científica internacional, apesar de seus inúmeros problemas — reconhecidos até por aqueles que o aceitam (alguns deles estão listados na seção 3 de Soares 2015a). A característica principal deste modelo é possuir, na presente época cósmica, uma expansão cosmológica acelerada. Os modelos de Friedmann, sem Λ, possuem expansão cosmológica desacelerada em todas as épocas cósmicas (cf. Viglioni e Soares 2011).

3.1. Universo estático de Einstein

Einstein foi guiado pela sua intuição física e pela sua pré-concepção a respeito do universo, ao propor o primeiro modelo cosmológico relativista. Nos anos de 1910, o universo apresentava-se como uma estrutura estática em grande escala. As ideias de um universo dinâmico em grande escala, tanto teóricas quanto observacionais, só surgiriam nos anos de 1920. Além de estático, o universo deveria ser certamente finito. Isto evita desconfortáveis condições de contorno nos limites do universo, fosse ele infinito.

O universo de Einstein é portanto finito — possui curvatura espacial positiva, i.e., é fechado — e estático (Soares 2012).

Para obter tal universo, Einstein foi obrigado a introduzir uma componente repulsiva em suas equações de campo. Ele acrescentou um termo adicional do campo da métrica, multiplicado pela constante cosmológica Λ. O valor de Λ pode ser ajustado para se obter, simultaneamente, um universo fechado (curvatura espacial diferente de zero positiva) e estático, ou seja, dS/dt ≡ Ṡ = 0 (ver eqs. 1 e 2 e seção 2 de Soares 2012).

O principal problema do modelo de Einstein é a sua instabilidade. O espaço é esférico com raio de curvatura, no hiperespaço de 4 dimensões, definido pela densidade de matéria do universo. Acontece que esta situação representa um equilíbrio instável; qualquer pequena perturbação leva o sistema — o universo — para o colapso ou para a expansão desintegrativa para o infinito. A Fig. 1 ilustra esta instabilidade através de uma analogia newtoniana. A figura mostra a soma das componentes de energia atrativa (gravitacional) e repulsiva (energia da constante cosmológica). Vê-se claramente a condição de instabilidade representada pela posição de equilíbrio no fator de escala R_E = 1.

**Figura 1**
Diagrama na forma da letra Λ: a energia potencial na analogia newtoniana do modelo estático de Einstein. Note que o ponto de equilíbrio em R = R_E é um ponto de equilíbrio instável. Uma pequena perturbação em R_E resultará no colapso do universo ou na divergência para R → ∞ (Soares 2012).

É importante salientar que o modelo estático de Einstein possui constante de curvatura espacial diferente de zero e positiva. Outros aspectos quantitativos e qualitativos são discutidos com mais detalhes em Soares (2012).

3.2. Universo de de Sitter

Ele é obtido fazendo-se k = ρ = 0 na eq. 1. Obtém-se Ṡ(t)/S(t) = c(Λ/3)^1/2. A “constante”, ou parâmetro, de expansão de Hubble H é definida como H ≡ Ṡ(t)/S(t). Vemos então que o modelo de de Sitter é caracterizado por uma taxa relativa de expansão — o parâmetro de Hubble — constante. Isto não ocorre, em geral. Por exemplo, os modelos clássicos de Friedmann (cf. Viglioni e Soares 2011) possuem Ṡ(t)/S(t) ≡ H(t). O parâmetro de Hubble H é aproximadamente constante somente para pequenas faixas de tempo cósmico Δt em torno de um tempo t qualquer.

Seja o tempo cósmico presente t_o e S(t_o) ≡ 1. Após a integração da equação diferencial mostrada no parágrafo anterior, o fator de escala no universo de de Sitter pode ser escrito como:

S(t) = e^{H(t − t_o)}, (3)

com H = c(Λ/3)^1/2. O modelo de de Sitter representa um universo de idade infinita, em expansão exponencial, com parâmetro de Hubble constante determinada pela constante cosmológica Λ e pela velocidade da luz c.

De Sitter encontrou bastante resistência ao seu modelo, mesmo muitos anos depois de sua proposição. Um jornal holandês de 1930 exibiu uma charge onde ridicularizava a ideia desitteriana (ver Fig. 2).

**Figura 2**
Charge em jornal holandês de 1930. Note que o corpo de de Sitter tem a forma da letra grega lambda minúscula λ (cf. Soares 2007). Tradução da legenda: **PROF. DR. W. DE SITTER NA FOLHA GERAL DO COMERCIO DE QUARTA-FEIRA 9 DE JULHO DE 1930** **“QUEM E' QUE REALMENTE ENCHE O BALAO? O QUE FAZ COM QUE O UNIVERSO SE EXPANDA, OU INCHE? - E' LAMBDA QUE FAZ ISTO. QUALQUER OUTRA RESPOSTA NAO FAZ SENTIDO.”**

Note que a charge está conceitualmente incorreta pois o universo de de Sitter é espacialmente plano e não curvo, como o balão que aparece na figura. Por outro lado, se o raio de curvatura do balão for muito grande (→ ∞), o universo de de Sitter pode ser imaginado como uma calota desta hiperesfera, pois ela será então aproximadamente plana.

O universo de de Sitter possui uma expansão acelerada, como pode ser visto na Fig. 3. Isto pode ser constatado de duas maneiras. Qualitativamente, a forma da curva S(t) apresenta a derivada temporal Ṡ, ou seja, a tangente à curva, cada vez maior à medida que o tempo passa. Quantitativamente, sabemos que a concavidade da curva para cima implica em que a derivada segunda de S é positiva, em outras palavras, Ṡ aumenta com o tempo. Note que todos os modelos clássicos de Friedmann possuem expansão desacelerada, o que pode ser verificado por estes mesmos raciocínios (ver Viglioni e Soares 2011).

**Figura 3**
O fator de escala para o universo de de Sitter aumenta exponencialmente com o tempo (cf. eq. 3). A expansão é acelerada em todos os instantes cósmicos.

O modelo de de Sitter tornou-se famoso por ser o primeiro modelo de expansão. A expansão era chamada na época de “efeito de Sitter”. Era um modelo bastante estranho, como vimos, pelo fato de não conter matéria, i.e., possuir densidade de matéria nula. É também importante salientar que o modelo de de Sitter possui constante de curvatura espacial nula.

3.3. Modelo Padrão da Cosmologia

O MPC representa um universo que possui matéria e energia associada à constante cosmológica na exata proporção para se ter curvatura espacial nula, ou seja, para ser caracterizado, em grande escala, por uma geometria espacial plana, também chamada euclidiana. Isto requer que a soma das densidades de matéria e de energia associada à constante cosmológica seja exatamente igual à densidade crítica ρ_c. Dito de outra forma, ρ_c = ρ_m + ρ_Λ.

Com o auxílio do parâmetro de densidade Ω_m ≡ ρ_m/ρ_c e Ω_Λ ≡ ρ_Λ/ρ_c, podemos escrever que o MPC obedece a relação Ω_m + Ω_Λ = 1. No instante presente t = t_o, escrevemos Ω_mo + Ω_Λo = 1, com Ω_mo ≡ ρ_mo/ρ_co e Ω_Λo ≡ ρ_Λo/ρ_co, sendo todas as grandezas avaliadas em t = t_o (mais detalhes em de Souza 2004, cap. 8).

A eq. 1 pode ser escrita em termos de Ω_mo e Ω_Λo. A equação diferencial resultante deve ser integrada para se obter S(t) para o MPC. A solução da integral resultante (de Souza 2004, eq. 8.4¹, pág. 269) nos fornece a função S(t):

, (4)

onde H_o é a constante de Hubble em t = t_o, i.e., no instante presente. A Fig. 4 mostra a função S(t) com Ω_mo = 0,3 e Ω_Λo = 0,7, valores próximos dos valores adotados pelo MPC na literatura científica atual.

A idade deste universo é t_o = 1,45 × 2/(3H_o), como mostrado na figura. Para se obter o valor de 1,45 basta fazer S(t = t_o) = 1, Ω_mo = 0,3 e Ω_Λo = 0,7 na eq. 4. O valor de 2/(3H_o) corresponde à idade do modelo de Friedmann com Ω_mo = 1 e Ω_Λo = 0. Este modelo é conhecido como modelo de Friedmann crítico ou modelo de Einstein-de Sitter (cf. Soares 2009b).

**Figura 4**
O diagrama mostra o fator de escala para o MPC, que representa um universo com uma fase acelerada em épocas cósmicas recentes. A idade do universo neste modelo está mostrada e corresponde ao fator de escala unitário. Note a mudança de concavidade da curva pouco antes do fator de escala igual a 1, o que indica que a expansão mudou de uma fase desacelerada para uma acelerada.

Quanto maior o valor de Ω_Λo, maior a idade do modelo. O MPC não permite liberdade total na escolha de Ω_Λo, porque há evidências de que existe cerca de 30% de matéria no universo (Ω_mo = 0,3). De qualquer forma, o valor de Ω_Λo = 0,7 resulta em uma idade plausível para o universo. Quer dizer, a idade cosmológica é aproximadamente igual à idade dos objetos mais velhos de nossa galáxia (ver Soares 2009b e 2015b).

Incidentalmente, um modelo precursor do MPC foi o modelo semi-qualitativo do cosmólogo belga Georges Lemaître (1894-1966), proposto em 1947, e que possui três fases: (i) fase inicial de expansão desacelerada, (ii) fase de estagnação ou estática e (iii) fase final de expansão acelerada. Com exceção da fase estática, este modelo é uma réplica do MPC e permite a construção de modelos com idades compatíveis com as idades dos objetos mais velhos observados. O MPC possui, no lugar da fase de estagnação, uma fase rápida de transição de uma expansão desacelerada para uma acelerada, como vimos na Fig. 4 (ver mais detalhes em Soares 2015b).

Agora, é importante destacar que Ω_mo = 0,3 significa que 30% de todo conteúdo de matéria-energia do universo está na forma de matéria, mas ela está dividida entre matéria bariônica (prótons e nêutrons) e matéria não bariônca (exótica). De fato, o MPC prevê aproximadamente 5% de matéria bariônica e aproximadamente 25% de matéria exótica, não bariônica. A matéria não pode ser toda bariônica, porque então a quantidade de matéria bariônica na época da síntese dos elementos químicos leves seria muito maior do que o necessário. Daí a previsão da existência de matéria exótica (mais detalhes em Soares 2013b e 2015a).

Finalmente, para comparação com os outros modelos apresentados, o MPC é um modelo com constante de curvatura espacial nula e densidade de matéria diferente de zero.

4. Considerações finais

Em 1958, Arthur Eddington, em seu influente livro The Expanding Universe, fez a famosa comparação entre os modelos de Einstein e de Sitter: “the de Sitter Universe contains motion without matter, while the Einstein Universe contains matter without motion” (Eddington, 1958, pág. 46). Apesar de não conter matéria em sua formulação teórica, é possível imaginar, como vimos, corpos de prova, de massa desprezível, presentes no universo de de Sitter. E estes corpos possuem movimento de expansão pois o próprio espaço está em expansão, como mencionado na seção 3.2.

Os modelos de Einstein e de de Sitter tornaram-se tijolos basilares na construção do edifício teórico da cosmologia moderna.

Na década de 1920 surgiu a ideia de um universo em expansão. O universo estático de Einstein logo tornou-se apenas tema da história da cosmologia. Aparece frequentemente na literatura a afirmação de que Einstein teria dito, neste contexto, ter sido a constante cosmológica a maior de suas “mancadas”. Ora, como já proposto em Soares (2012, seção 4), a verdadeira grande mancada de Einstein não foi a adoção da constante cosmológica, mas sim a formulação de um modelo cosmológico instável. A constante cosmológica é perfeitamente aceitável na expressão da equação de campo da TRG, não representado qualquer erro, do ponto de vista formal.

Os três modelos com Λ apresentados na seção 3 podem ser caracterizados pelas suas geometrias espaciais e pelos seus conteúdos de matéria.

Universo estático de Einstein

constante de curvatura espacial

conteúdo de matéria

Universo de de Sitter

constante de curvatura espacial

conteúdo de matéria

Modelo Padrão da Cosmologia

constante de curvatura espacial

conteúdo de matéria

Em 2002, o cosmólogo americano Michael Turner cunhou o termo energia escura para denominar a energia associada à constante cosmológica, e que seria responsável pela expansão acelerada do universo (estudos posteriores ampliaram o conceito de “energia escura” de forma a incluir outras hipotéticas formas de energia que não a associada à constante cosmológica, a maioria delas não sendo constantes). Por que escura? Pelo fato de que até hoje esta nova forma de energia — totalmente diferente da energia eletromagnética, por exemplo — permanecer totalmente desconhecida, tanto do ponto de vista observacional quanto do ponto de vista de caracterização teórica (ver Turner 2002 e Soares 2015a).

Agradecimento – As figuras 3 e 4 foram confeccionadas em um dos computadores do Instituto Astronômico Kapteyn, Groningen, Holanda, sob os auspícios do Prof. Reynier Peletier.

Referências

A. Eddington, The Expanding Universe (The University of Michigan Press, Ann Arbor, 1958).

E. Harrison, Cosmology – The Science of the Universe (Cambridge University Press, Cambridge, 2000).

D. Soares, Joel Primack e a imagética da escuridão (www.fisica.ufmg.br/dsoares/wish/primack-img.htm, 2015a).

D. Soares, O dilema da idade do universo (www.fisica.ufmg.br/dsoares/UAI/idade.htm, 2015b).

D. Soares, RBEF 35, 3302 (2013a), www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/353302.pdf.

D. Soares, COSMOS:22out13 (www.fisica.ufmg.br/dsoares/cosmos/13/cosmos18.htm, 2013b).

D. Soares, RBEF 34, 1302 (2012), www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/341302.pdf.

D. Soares, Uma pedra no caminho da Teoria da Relatividade Geral (www.fisica.ufmg.br/dsoares/ensino/trg-pdr.pdf, 2009a).

D. Soares, A idade do universo, a constante de Hubble e a expansão acelerada (www.fisica.ufmg.br/dsoares/ageunv/idadeunv.pdf, 2009b).

D. Soares, COSMOS:12mar07 (www.fisica.ufmg.br/dsoares/cosmos/07/cosmos0.htm, 2007).

D. Soares, Comentários e errata (www.fisica.ufmg.br/dsoares/desouza.pdf, 2006).

R.E. de Souza, Introdução à Cosmologia (EDUSP, São Paulo, 2004).

M. Turner, Dark Matter and Dark Energy: The Critical Questions (arxiv.org/abs/astro-ph/0207297, 2002).

A. Viglioni e D. Soares, RBEF 33, 4702 (2011), www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/334702.pdf.

S. Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1972).

¹Note que o numerador do integrando, na eq. 8.4, deve ser corrigido para R^1/2dR [ver outras anotações referentes a de Souza (2004) em Soares (2006)]. Volta.

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